积分变量替换到legendre微分变换

阿德利昂·玛利·埃·勒让德为法国数学家。勒让德建立了许多重要的定理，提出了对素数定理和二次互反律的猜测并发表了初等几何教科书。代表作有：《行星外形的研究》，当中给出处理特殊函数的“勒让德多项式”；《几何学基础》将几何理论算术化、代数化，详细讨论了平行公设问题，证明了圆周率π和π2的无理性；《数论》论述了二次互反律及其应用，给出连分数理论及素数个数的经验公式等；《椭圆函数论》，提出三类基本椭圆积分，证明每个椭圆积分可以表示为这三类积分的组合，并编制了详尽的椭圆积分数值表，还引用若干新符号，使他成为椭圆积分理论的奠基人之一。

在学习过程中经常遇到一些简单的变量替换问题，如果不小心就很容易出错，其实就是数学知识不过关，本期就和大家分享一下在学习过程中遇到的一些问题。

对该图像与x轴包围的面积求积分：

实际情况是x=r/3，x不是自变量r才是真正意义上的自变量。则函数图像变成了：

对该图像与x轴包围的面积求积分：

通过图像判断我们很容易得到G(x)的表达式。来看一下解析式是怎么转换过来的。根据条件可得：

所以积分就很容易改写为：

出乎意料的F(r)≠G(r),what wrong?一个简单的变量替换我们做错了。可见简单的问题并不简单。错误原因在此不讲，一讲出来就成了大家看了就会说理所当然,自己不思考。在公众中回复“定积分变量替换”查看答案。大家可留言告诉我出错在什么地方。再来看另外一个问题：

请问g(t)的具体形式应该是多少？假设f(t)=(10-t)t。在公总众号中回复“定积分变量替换”可查看答案。

以上是比较简单的变量替换问题。自变量x和δf/δx之间的hard模式变量替换才是真正的重头戏。

两个自变量的函数f(x,y)其全微分的形式为：

令：

则:

在f(x,y)里是用x,y作为独立变量的，实际根据问题的不同，把x,y或者把u,v作为独立变量看待都是等价的。倘若为了描述问题的需要欲把独立自变量从(x,y)变换为(u,y)则函数从f(x,y)变成g(u,y)。g(u,y)其具体形式为？legendre给出了问题的解答：

该过程的变换就为legendre变换。神乎其技的操作让数学不好的读者一脸懵逼，还是给个具体案例理解起来会比较容易一点。

则:

我们来尝试一下使用g(u,y)=ux-f(x,y)，求h(u,y)：

显然h(u,y)≠g(u,y),所以是legendre变换错了？理所当然是我们错了。h(u,y)求u的偏导 ：

h(u,y)用变量u=δf/δx来表示x，x和u存在一一映射关系，h(u,y)和f(x,y)对应同一个函数空间。g(u,y)从新定义了一个函数。函数自变量是u,因变量为δf/δu,要保证因变量实际是x ,所以就要满足：x=δf/δu。g(u,y)是另外一个函数空间。显然f(x,y)，g(u,y)的函数空间是不一样的，而这两个函数空间用xu=x(δf/δx)作为中间桥梁连接起来，实现相互转换。这有什么用呢？物理化学中常有这么一个公式：

该函数的独立变量V不太好使用。我们想将其转换为自变量是p,常量是V的函数形式。已知：

该函数的独立变量V不太好使用。我们想将其转换为自变量是p,常量是V的函数形式。已知：

则：

这就是熟知的H的全微分表达式。本期先抛转引用legendre变换，要进一步了解，下期与你相见。