[DeeplearningAI 笔记]第二章 1.10-1.12 梯度消失,梯度爆炸,权重初始化

演化计算与人工智能

发布于 2020-08-14 10:56:10

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发布于 2020-08-14 10:56:10

文章被收录于专栏：人工智能与演化计算成长与进阶

1.10 梯度消失和梯度爆炸

当训练神经网络,尤其是深度神经网络时,经常会出现的问题是梯度消失或者梯度爆炸,也就是说当你训练深度网络时,导数或坡度有时会变得非常大,或非常小,甚至以指数方式变小.这加大了训练的难度.
假设你正在训练一个很深的神经网络,并且将其权重命名为"W[1],W[2],W[3],W[4]......W[L]"

为了简化说明,我们选择激活函数为 g(z)=z(线性激活函数),b[l]=0(即忽略偏置对神经网络的影响)
这样的话,输出

\hat{y}=w[l]*w[l-1]*w[l-2]...w[2]*w[1]*x

假设每层的 W 的值相等都为:

\begin{bmatrix}1.5&0\\0&1.5\\\end{bmatrix}

从技术上讲第一层的权值可能不同,基于此我们有式子

\hat{y}=w[1]*\begin{bmatrix}1.5&0\\0&1.5\\\end{bmatrix}^{L-1}*x

对于一个深层神经网络来说层数 L 相当大,也就是说预测值

\hat{y}

实际上是以指数级增长的,它增长的比率是

1.5^L

,因此对于一个深层神经网络来说,y 的值将爆炸式增长.相反的,如果权重是 0.5,有

\hat{y}=w[1]*\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}^{L-1}*x

因此每个矩阵都小于 1,假设 x[1]x[2]的输入值都是 1,那么激活函数值到最后会变成

0.5^{(L-1)}

激活函数值将会以指数级别下降.

对于深层神经网络最终激活值的直观理解是,以上述网络结构来看,如果每一层 W 只比 1 大一点,最终 W 会爆炸级别增长,如果只比 W 略微小一点,在深度神经网络中,激活函数将以指数级递减.
虽然只是论述了对于最终激活函数输出值将以指数级别增长或下降,这个原理也适用与层数 L 相关的导数或梯度函数也是呈指数增长或呈指数递减
直观上理解,梯度消失会导致优化函数训练步长变小,使训练周期变的很长.而梯度爆炸会因为过大的优化幅度而跨过最优解

ps: 对于该视频中关于梯度消失和梯度爆炸的原理有一些争论

请参考[2]

1.11 神经网络中的权重初始化

对于梯度消失和梯度爆炸的问题,我们想出了一个不完整的解决方案,虽然不能彻底解决问题但却很有用,有助于我们为神经网络更谨慎的选择随机初始化参数

单个神经元权重初始化

假设神经元有四个特征输入,暂时忽略 b 对神经元的作用则:

z=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+w_{3}x{3}+...+w_{n}x_{n}

为了防止梯度爆炸或者梯度消失,我们希望

w_{i}

尽可能小,最合理的方法就是设置

W方差为\frac{1}{n}

n表示神经元的输入特征数量

更简洁的说,如果你用的是 Sigmoid 函数,设置某层权重矩阵

W^{[l]}=np.random.randn(shape)*np.sqrt(\frac{1}{n^{[l-1]}})(该层每个神经元的特征数量分之一,即l层上拟合的单元数量)

如果你用的是 ReLU 激活函数,设置方差为

\frac{2}{n}

更好,更简洁的说,就是设置某层权重矩阵

W^{[l]}=np.random.randn(shape)*np.sqrt(\frac{2}{n^{[l-1]}})(该层每个神经元的特征数量分之一,即l层上拟合的单元数量)

如果你用的是 Tanh 激活函数,则设置某层权重矩阵为

W^{[l]}=np.random.randn(shape)*np.sqrt(\frac{1}{n^{[l-1]}})

或者为

W^{[l]}=np.random.randn(shape)*np.sqrt(\frac{2}{n^{[l-1]}+n^{l}})

这些方法都被成为 Xavier 初始化(Xavier initialization),实际上,NG 认为所有这些公式都只是给你一个起点,它们给出初始化权重矩阵的方差的默认值,如果你想添加方差,则方差参数则是另一个你需要调整的超级参数,例如对于 ReLU 激活函数而言,你可以尝试给公式

W^{[l]}=np.random.randn(shape)*np.sqrt(\frac{2}{n^{[l-1]}})

添加一个乘数参数,但是 NG 认为相对于其他参数的调优,通常把它的调优优先级放得比较低.

1.12 梯度的数值逼近

主要讲利用双边误差计算公式:

\frac{f(\theta+\epsilon)-f(\theta-\epsilon)}{2\epsilon}\approx{g(\theta)}

利用这个公式简单的估计函数的微分.

补充资料

梯度检查[3]

参考资料

[1]吴恩达老师课程原地址: https://mooc.study.163.com/smartSpec/detail/1001319001.htm

[2]请参考: https://www.zhihu.com/question/64169233

[3]梯度检查: http://blog.csdn.net/MargretWG/article/details/68067499

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原始发表：2020-04-21，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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