光学仿真的常用数值方法

我们常常会对一些光学结构进行仿真设计，一款好用的仿真软件是必不可少的。深入了解这些仿真工具的工作原理，有助于我们更有效地选择与利用这些工具，得到合理的结果。工欲善其事，必先利其器。这一篇整理下几种常用的电磁学仿真方法。

先上Maxwell方程组镇楼，

Maxwell方程组是一组偏微分方程组，电磁仿真的过程就是在求解Maxwell仿真。不同的数值方法，也就是不同的求解方法。

1. BPM方法

BPM的全称是beam propagation method, 即光束传播法。它通过求解Helmholtz方程得到光场的分布，

假设E(x,y,z)满足缓变包络近似条件， 经过一定的计算，可以得到下面的式子，

z+delta_z处的光场可以通过z处的光场求得，这正是BPM的核心思想所在。其计算过程是将结构沿着传播方向分成若干个传播截面，基于初始位置处光场的分布，一步步算出每个传播截面上的光场分布，整个过程类似光束在一步步向前传输，示意图如下，

（图片来自 https://nanohub.org/resources/16841/watch?resid=16845）

由于使用了缓变包络近似的条件，BPM方法适用于计算折射率对比度不是很大的波导。BPM方法对电脑硬件的要求不是很高，计算时间较短。对于对比度比较大的波导体系，选用BPM方法是不合适的。

2. FDTD方法

FDTD方法的全称是finite difference time-domain method, 即有限时域差分法。其基本思想是将Maxwell方程组的微分方程转换为差分方程，将空间域和时间域进行离散化处理。根据初始时刻t的电场分布，求解差分方程组，得到下半个时刻的磁场分布，进而得到下一时刻的电场分布，如此迭代下去(类似蛙跳)，交替求解各个时刻不同空间位置处的电场与磁场分布， 示意图如下。

（图片来自http://www.ece.utah.edu/~ece6340/LECTURES/lecture%2014/FDTD.pdf）

通过对求解到的时域电磁场进行傅里叶变换，就可以得到系统电磁场的稳态分布。求解过程中，空间中任一位置处的E分量和H分量，如下图所示，

（图片来自http://ammar-hakim.org/sj/je/je7/je7-dual-yee.html）

上图这个立方体结构称为Yee元胞。图中E的三个分量分别在元胞的边上，而H的三个分量位于元胞的面上，H被E环绕。这样处理有助于后续的差分计算。

FDTD方法精确求解Maxwell方程组，使用的范围比较广泛。它适用于计算一些波长量级的结构，它对硬件的要求相对较高。

3. FEM方法

FEM方法的全称是finite element method, 即有限元法。其基本思想是将所需求解的物理结构划分为多个小的单元，对每个单元分别进行偏微分方程的求解（并不局限于Maxwell方程组，可以是其他方程，例如热传导方程），再将每个单元求得的数值进行整合，得到整个系统的电磁场分布，如下图所示。整个过程先化整为零，然后集零为整。

（图片来自http://web.mit.edu/16.810/www/16.810_L4_CAE.pdf）

有限元方法的优势之一是可以灵活地设置网格单元，特别是一些不太规则的形状。而在FDTD中，网格单元通常为矩形，对于不太规则形状的设置不是很方便。

有限元方法的另外一个优势可以同时对多种物理过程进行仿真，例如同时仿真光学过程和热学过程。

以上是对三种常用的电磁仿真计算方法的简单介绍。BPM适用于器件尺寸远大于波长的情况，而FDTD和FEM方法算的更加准确点，代价是对系统硬件资源的要求更高。FDTD和FEM方法，都是Maxwell方程组进行离散化处理，FDTD在时间域求解，而FEM在频域求解，它不太方便计算系统对宽波段的响应。这几种方法各有利弊，需要根据实际情况选择合适的方法。

文章中如果有任何错误和不严谨之处，还望大家不吝指出！