储备点数学公式

看、未来

发布于 2020-08-26 11:21:21

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前言

近日淘到一本不可多得的好书，开篇便是扎实数学功底。所以本篇就来推导一些算法抉择必备的数学功底，不然哪套算法好，好在哪里，也说不出个所以然来，空口无凭，公式说话！

1、指数

X^AX^B = X^{A+B}

X^A/X^B = X^{A-B}

(X^A)^B = X^{AB}

X^N+X^N = 2X^N \neq X^{2N}

2^N+2^N = 2^{N+1}

2、对数

在计算机科学中，除非有特殊申明，不然所有对数都是以2为底的，心照不宣。

定理1： X^A = B,当且仅当\log_{X}B = A

定理2： \log_{A}B = \log_{C}B/\log_{C}A;(C>0)

证明：令X= \log_{C}B,Y = \log_{C}A,Z = \log_{A}B 。 \therefore B = C^X,A = C^Y,以及A^Z = B \therefore (C^Y)^Z = C^X = B。 \therefore X= YZ, \therefore Z = X/Y

定理3： logAB = logA+logB

证明：令X = logA,Y = logB,Z = log{AB}。此时由于默认底为2,2^X = A,2^Y = B,以及2^Z = AB。 \therefore X+Y=Z，这就证明了该定理。

还有一些有用的公式如下，它们都可以用类似的方法推导：

log(A/B) = logA - logB

log(A^B) = BlogA

logX<X(X>0)

log1 = 0,log2 = 1,log1024 = 10

3、级数

最容易记忆的公式是：

\sum_{i = 0}^{N}2^i = 2^{N+1}-1

\sum_{i = 0}^{N}A^i = (A^{N+1}-1)/A-1

在第二个公式中，如果0<A<1,则

\sum_{i = 0}^{N}A^i \leqslant 1/(1-A)

推导公式2：令S表示和，此时：

S = 1+A+A^2++A^3+……

于是：

AS = A+A^2+A^3+A^4+……

两式相减，得：

S-AS = 1

\therefore S = 1/(1-A)

公式1是公式2的特化。

高斯公式：

\sum_{i = 0}^{N}i = N(N+1)/2 \approx N^2/2

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原始发表：2020-07-15 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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