一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。
问总共有多少条不同的路径?
例如,上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径?
示例 1:
输入: m = 3, n = 2 输出: 3 解释: 从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
示例 2:
输入: m = 7, n = 3 输出: 28
提示:
1 <= m, n <= 100 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9
dp[i][j]: dp[i][j]代表到达 i 和 j 的所有路径的总数
由于我们的目的是从左上角到右下角一共有多少种路径,那我们就定义 dp[i] [j]的含义为:当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时,一共有 dp[i] [j] 种路径。那么,dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。
动态方程:dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置?由于机器人可以向下走或者向右走,所以有两种方式到达
一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达
一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达
所以到这样一步,是要把所有可能走的路径都加起来
所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。
0行0列,无论走到哪都是1种方案,所以dp[0..m][1]$或者$dp[1][0..n]都等于1
因此初始值如下:
dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行,机器人只能一直往左走
dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列,机器人只能一直往下走
直接上代码:
class Solution(object):
# 时间复杂度:O(m*n)
# 空间复杂度:O(m*n)
def uniquePaths1(self, m, n):
# 1. 定义dp[i][j],初始化表格,表示到达i和j路径总数
# 2. 初始化动态方程: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
# 3. 找出初始化值。显然,0行 0列都只有1种方式,都为1
# 初始化表格,由于初始化0行 0列都为1。那么,先全部置为1
dp = [[1 for _ in range(m)] for _ in range(n)]
# print dp
for i in range(1, n):
for j in range(1, m):
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
return dp[n-1][m-1]
当前:
时间复杂度:O(m*n)
空间复杂度:O(m*n)
让我们把空间复杂度降为:O(min(m,n))
思路:计算到 i 行 j 列的时候,我们使用到的总是前一行的数据,而与前i-2都没有关系
在接下来,可以考虑将 i 行和 i-1 行并为一行,减小空间复杂度。
看下图,对比思路:
上代码:
class Solution(object):
# 时间复杂度:O(m*n)
# 空间复杂度:O(min(m,n))
def uniquePaths2(self, m, n):
if m > n :
m, n = n, m
dp = [1 for _ in range(m)]
for i in range(1, n):
for j in range(1, m):
dp[j] = dp[j] + dp[j-1]
return dp[m-1]
此时的空间复杂度就降为O(min(m, n))