矩阵分析笔记（一）线性空间

线性空间的定义

线性空间是定义在数域 F 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域\mathbb{Q}，复数域\mathbb{C}，实数域\mathbb{R}

线性空间的定义：

设V是以\alpha, \beta, \gamma,...为元素的非空集合，F是一个数域，定义两种运算：加法\forall \alpha , \beta \in V, \; \alpha + \beta \in V；数乘\forall k \in F, \alpha \in V, k \alpha \in V。满足8条：加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律，零元存在，1(幺)元存在，负元存在。则称V为数域F上的线性空间。

1. 交换律 \alpha+\beta=\beta+\alpha
2. 结合律 \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma
3. 零元素 在V中有一元素0（称作零元素，注：该0为向量），对于V中任一元素\alpha都有\alpha+0=\alpha
4. 负元素 对于V中每一个元素\alpha，都有V中的元素\beta，使得\alpha+\beta=0，其中，0代表的是零元素，但不一定永远都是0这个数，视具体题目而定
5. \alpha · 1=\alpha，其中1是数，不是向量
6. (\alpha l)k=\alpha (kl)
7. \alpha (k+l)=\alpha k+\alpha l
8. (\alpha+\beta)k=\alpha k+\beta k

注：\alpha,\beta,\gamma\in V\ \ 1,k,l\in F

简单点说，上述8条，只要有任意一条不满足，则V就不是数域F上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）

例题1

V=\{0\},F是数域，判断V是否为数域F上的线性空间

解：判断是否线性空间，只需要证明集合V在数域F上是否满足上述8条。这里明显满足条件，因此V是数域F上的线性空间

例题2

R^+表示所有正实数集合，在R^+中定义加法\oplus与数量乘法\odot分别为

$$ \begin{align} a\oplus b&=ab, & \forall a,b\in R^+\\ k\odot a&=a^k, & \forall a\in R^+, k\in \mathbb{R} \end{align} $$

判断R^+是否构成实数域\mathbb{R}上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此R^+是实数域\mathbb{R}上的线性空间

• 交换律：a\oplus b = ab = ba = b\oplus a
• 结合律：a\oplus (b\oplus c) = a(bc) = (ab)c = (a\oplus b) \oplus c
• 零元素：这个比较复杂，我详细推导一下。原始定义中\alpha\oplus 0=\alpha，因此0就是零元素。但是对于这道题，我们需要找到一个数x，使得a\oplus x=ax=a，显然，x=1。因此，R^+存在零元素，零元素是1
• 负元素：其实和零元素同理，原始定义中\alpha \oplus \beta=0，因此\beta就是\alpha的负元素。对于这道题，我们需要找到一个数y，使得\alpha\oplus y=\alpha y=0。但是要注意，这里的0是零元素，而上面我们已经推出零元素是1。所以这里我们需要证明的式子应该是\alpha\oplus y=\alpha y=1，显然，y=\frac{1}{\alpha}，并且\alpha是正实数集合中的元素，因此\alpha\neq0。因此R^+存在负元素，负元素是0
• 数乘结合律：k\odot(l\odot \alpha)=k\odot(\alpha^l)=\alpha^{lk}=\alpha^{kl}=(kl)\odot \alpha
• 分配律1：(k+l)\odot \alpha=\alpha^{k+l}=\alpha^k\alpha^l=\alpha^k\oplus\alpha^l=(k\odot\alpha)\oplus (l\odot \alpha)
• 分配律2：k\odot(\alpha\oplus\beta)=(\alpha\beta)^{k}=\alpha^k\beta^k=(k\odot\alpha)\oplus(k\odot\beta)

例题3

设V是由系数在实数域\mathbb{R}上，次数为n的n次多项式f(x)构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明V不是\mathbb{R}上的线性空间

解：V是由次数为n的n次多项式f(x)构成的集合，显然加法不封闭。例如x\in V，则x+(-x)=0，0的次数不再是n，次数下降，不再属于V了。同理，数乘也不封闭。例如x\in V，则x·0=0，次数同样下降，不属于V。因此V不是\mathbb{R}上的线性空间

线性空间的性质

加法零元唯一

证：设0_1,0_2是两个零元，则0_1=0_1+0_2=0_2

加法负元唯一

证：设\alpha的负元为\beta_1,\beta_2，则\beta_1=\beta_1+0=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=(\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_2

\forall \alpha\in V, 0·\alpha=0，其中，第一个0是数，第二个0是向量

\forall k\in F, k·0=0，其中的两个0是相同的，都是向量

若k\alpha=0，则k=0或\alpha=0

若\alpha+\beta=\alpha+\gamma，则\beta=\gamma

补充

以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解

数乘中的数，最好放在向量的右边

$$ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)·2 $$

数字2，可以看作是1×1的矩阵，而列向量是3×1的。将数放向量的右边，就满足了矩阵乘法的要求（第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）