矩阵分析笔记（三）基与坐标
设V是\mathbb{F}上的线性空间，若有正整数n及V中的向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n使得
- \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n线性无关
- 任取向量\alpha \in V均可由\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性表示
则称V是\mathbb{F}上的有限维线性空间，向量组\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n称为V的一个基，其中X称为向量\alpha在基\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n下对应的坐标，基向量组中向量的个数n称为V的维数，记为\dim V
证明一组向量是线性空间的基，分两步
- 证明这组向量线性无关
- 证明线性空间任意向量可由这组向量表示
是否任意一个线性空间都有维数？
答案是否定的，下面举一个无限维线性空间的例子
记\mathbb{R}[x]_n=\{f\mid f\in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}),\ 且f可写成次数<n\}，按照线性空间\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})的加法和数乘，易知\mathbb{R}[x]_n和\mathbb{R}[x](全体多项式构成的线性空间)
结论：\mathbb{R}[x]_n是n维线性空间，而\mathbb{R}[x]不是有限维的线性空间。这里暂时无法证明
零维线性空间
规定仅含一个元素的线性空间（零线性空间）为零维线性空间，其维数规定为0，零维线性空间也算作有限维线性空间
例题1
试证：所有n阶对称矩阵组成\frac{n(n+1)}{2}维线性空间；所有的n阶反对称矩阵组成\frac{n(n-1)}{2}维线性空间
例题2
设R[x]_4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x)=1+2x^3在基1,x-1,(x-1)^2,(x-1)^3下的坐标
解：方法一（用线性空间理论计算）
$$ p(x)=1+2x^3=[1, x, x^2, x^3]\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 2\end{bmatrix} \\ =[1, x - 1, (x-1)^2, (x-1)^3]\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{bmatrix} $$
又由于
$$ [1, x - 1, (x-1)^2, (x-1)^3]\\ =[1, x, x^2, x^3]\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 &-1\\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$
于是p(x)在基1, x-1,(x-1)^2, (x-1)^3下的坐标为
方法二 将p(x)=1+2x^3根据幂级数公式按x-1展开可得
$$ \begin{align} p(x)&=1+2x^3\\ &=p(1)+p(1)(x-1)+\frac{p''(1)}{2!}(x-1)^2+\frac{p'''(1)}{3!}(x-1)^3\\ &=3+6(x-1)+6(x-1)^2+2(x-1)^3 \end{align} $$
因此p(x)在基1, x-1, (x-1)^2, (x-1)^3下的坐标为[3, 6, 6, 2]^T