统计分布讲解
随机现象中，变量的取值是不确定的，称之为随机变量。描述随机变量取值概率的函数称为概率分布。对于随机变量，通常主要关心它的两个主要数字特征：数学期望用于描述随机变量的平均值，方差用于描述随机变量分布的差异程度，方差的算术平方根称为均方差。另外协方差和相关系数用于描述两个变量的线性关联程度。
随机变量的分布根据其取值特点不同主要分为离散型和连续型两类，若用ζ表示实验投硬币计正方面次数，“正面向上次数”，其取值可能为0,1,2,.....10,则为离散型随机变量。典型的离散型分布有离散均匀分布、二项分布、Possion分布等。若用变量η表示学生群体的身高分布，其取值可能在[1.5,2.5]中任何值，则为连续型随机变量。典型的连续型分布有均匀分布、正态分布、指数分布、χ2分布、t分布、F分布。
统计分布函数：
y = pdf('name',x,A,B,C,D)Name:表示具体分布类型；x：随机变量；A、B、C、D:不同分布对应的参数。
常见概率分布密度函数如下表：
中文函数名 | 调用名称 | 输入参数A | 输入参数B | 输入参数C | 输入参数D |
|---|---|---|---|---|---|
Beta分布 | Beta | a第一个形状参数 | b第二个形状参数 | —— | —— |
二项分布 | Binomial | n实验次数 | p 每次成功实验的概率 | —— | —— |
卡法分布 | Chisquare | v自由度 | —— | —— | —— |
指数分布 | Exponetial | u均值 | —— | —— | —— |
F分布 | F | v1分子自由度 | v2分母自由度 | —— | —— |
Gamma分布 | Gamma | a形状参数 | b尺度参数 | —— | —— |
几何分布 | Geometric | ρ概率参数 | —— | —— | —— |
超几何分布 | Hypergeometric | m总体的大小 | k总体所需特征项数 | n抽取样本数 | —— |
对数分布 | Lognormal | u对数值均值 | σ对数值的标准差 | —— | —— |
负二项分布 | Negative Binomial | r成功次数 | p单个实验成功概率 | —— | —— |
非中心F分布 | Noncentral F | v1分子自由度 | v2分母自由度 | δ非中心参数 | —— |
非中心t分布 | Noncentral t | v自由度 | δ非中心参数 | —— | —— |
非中心卡方 | Noncentral Chi-square | v自由度 | δ非中心参数 | —— | —— |
正态分布 | Normal | u均值 | σ标准差 | —— | —— |
泊松分布 | Poisson | λ均值 | —— | —— | —— |
瑞利分布 | Rayleigh | b尺度参数 | —— | —— | —— |
T分布 | T | v自由度 | —— | —— | —— |
均匀分布 | Uniform | a下部端点 | b上部端点 | —— | —— |
离散均匀分布 | Discrete Uniform | n最大可观测值 | —— | —— | —— |
Weibull分布 | Weibull | a尺度参数 | b形状参数 | —— | —— |
离散均匀分布案例：
设一个随机变量ζ服从离散均匀分布，如果其概率为
则其分布函数为：
代码：
n=20;x=1:n;
y = pdf('Discrete Uniform',x,n);
%绘制分布图像
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(x,y,'MarkerFaceColor',[0 0.447058826684952 0.74117648601532],'MarkerEdgeColor',[0 0 1],'Marker','o','LineWidth',2,'Color',[1 0 0]);
ylabel('概率分布');xlabel('随机变量');
title('离散均匀分布');
xlim(axes1,[0 21]);ylim(axes1,[-0.2 0.4]);
box(axes1,'on');
hold(axes1,'off');
set(axes1,'FontSize',14,'LineWidth',2,'YTick',[-0.2 -0.14 -0.08 -0.02 0.04 0.1 0.16 0.22 0.28 0.34 0.4 0.4]);
%储存图像
% pwd是获取当前运行目录
filename=[pwd,'\','离散均匀分布'];
print(filename,figure1,'-r600','-dtiffn');二项分布：
若将实验可能结果分为两个：A发生、A不发生，则称此随机实验为二项分布：
那么ζ服从一个简单离散分布P(ζ=1)=p,P(ζ=0)=1-p,称为二项分布。将二项分布实验独立重复进行n次，称为n重二项分布，n重二项分布实验中A发生的次数分布为：
称为参数为n、p的二项分布：ζ~B(n,p)。
代码：
x=0:50;
n=500;P=0.05
y = pdf('Binomial',x,n,p);
%绘制分布图像
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(x,y,'MarkerFaceColor',[1 0 0],'MarkerEdgeColor',[1 0 0],'MarkerSize',8,'Marker','*','LineWidth',2);
ylabel('发生概率');xlabel('事件发生次数');
title('二项分布');
box(axes1,'on');
hold(axes1,'off');
set(axes1,'Clipping','off','FontName','楷体','FontSize',14,'LineWidth',2);
%储存图像
% pwd是获取当前运行目录
filename=[pwd,'\','二项分布'];
print(filename,figure1,'-r600','-dtiffn');均匀分布
连续型概率分布的表达式与离散型有很大不同，因为连续型随机变量取值是无法列举的，况且在单个点取值的概率总是0。连续型概率分布是用密度函数来表示。相应随机变量取值的概率可通过对密度函数积分得到。
均匀分布密度函数：
代码：
x=linspace(-10,10,100)
p=1/5;
pd = makedist('Uniform',p);
y = pdf(pd,x);
%均匀分布的累计概率分布
syms x
x1=linspace(-10,0,100);
x2=linspace(0,5,100);
x3=linspace(5,10,100);
y1=linspace(0,0,100);
f=@(t)(1/5);%概率密度分布；
y2=double(arrayfun(@(t)(int(f,x,0,t)),x2));
y3=linspace(1,1,100)
%绘制分布图像
int(1/5,x,0,5)
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(x,y,'MarkerFaceColor',[1 0 0],'MarkerEdgeColor',[1 0 0],'Marker','o','LineWidth',2);
ylabel('概率密度分布函数','FontName','楷体');
xlabel('随机变量','FontName','楷体');
title('均匀分布');
xlim(axes1,[-11 11]);
ylim(axes1,[-0.02 0.23]);
hold(axes1,'off');
% 设置其余坐标区属性
set(axes1,'FontName','楷体','FontSize',14,'FontWeight','bold','LineWidth',2,'YMinorTick','on','YTick',[-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.23]);
%绘制累计概率分布
figure2 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure2);
hold(axes1,'on');
plot([x1 x2 x3],[y1 y2 y3],'DisplayName','$f(x)=1/5, ,0<x<5$','LineWidth',2);
ylabel('累计概率分布','FontWeight','bold','FontName','楷体');
xlabel('随机变量','FontWeight','bold','FontName','楷体');
title('均匀分布');
xlim(axes1,[-11 11]);
ylim(axes1,[-0.08 1.1]);
hold(axes1,'off');
set(axes1,'FontName','楷体','FontSize',14,'FontWeight','bold','LineWidth',2);
legend1 = legend(axes1,'show');
set(legend1,'Position',[0.150457307741795 0.856255571979886 0.239467178461172 0.0402666677951811],'Interpreter','latex')
%储存图像
% pwd是获取当前运行目录
filename1=[pwd,'\','均匀分布'];
filename2=[pwd,'\','累计概率分布'];
print(filename1,figure1,'-r600','-dtiffn');
print(filename2,figure2,'-r600','-dtiffn');正态分布
正态分布是应用最广泛的一类概率分布，其概率密度为：
记为N(u,σ2)，其中u是随机变量取值的平均，而σ表征了随机变量取值的差异。特别地，N(0,1)称为标准正态分布。
代码：
x=-8:0.1:8;
mu=0;sigma=1;
pd = makedist('Normal',mu,sigma);
y = pdf(pd,x);
%正态分布的累计概率分布
syms x
x1=-8:0.1:8;
mu=0;sigma=1;
f=@(x)((1./sqrt(2*pi*sigma)).*(exp((-(x-mu).^2)./(2*sigma.^2))));%定义原始积分项函数；
y1=arrayfun(@(x)(quad(f,-8,x)),x1);
%绘制分布图像
figure1 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure1);
hold(axes1,'on');
plot(x,y,'MarkerFaceColor',[1 0 0],'MarkerEdgeColor',[1 0 0],'Marker','o','LineWidth',2);
ylabel('随机变量概率密度');
xlabel('随机变量');
title('正态分布');
xlim(axes1,[-9 9]);
ylim(axes1,[-0.04 0.5]);
hold(axes1,'off');
set(axes1,'FontName','楷体','FontSize',14,'FontWeight','bold','LineWidth',2,'XTick',[-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8],'YTick',[-0.04 0.01 0.06 0.11 0.16 0.21 0.26 0.31 0.36 0.41 0.46 0.5]);
%累计概率分布图像
figure2 = figure;
axes1 = axes('Parent',figure2);
hold(axes1,'on');
plot(x1,y1,'DisplayName','$F(X)=\int_{-8}^{t}f(t)dt$','LineWidth',2);
text('Parent',axes1,'FontWeight','bold','FontSize',14,'Interpreter','latex','String','$N(\mu={0},\sigma^{2} ={1})$','Position',[-7.26031294452347 1.03435582822086 0]);
ylabel('累计概率');
xlabel('随机变量');
title('正态累计分布');
box(axes1,'on');
hold(axes1,'off');
set(axes1,'FontName','楷体','FontSize',14);
legend1 = legend(axes1,'show');
set(legend1,'Position',[0.134682450787465 0.850159728422969 0.220896033581171 0.049125053411969],'Interpreter','latex','FontSize',14);
%储存图像
% pwd是获取当前运行目录
filename1=[pwd,'\','正态分布'];
filename2=[pwd,'\','正态累计分布'];
print(filename1,figure1,'-r600','-dtiffn');
print(filename2,figure2,'-r600','-dtiffn');正态分布对应的累计概率分布整体是没有问题的，从图像上可以看见2~4之间图像有个小凹凸，why?过冷水一时间也反应不过来，读者中有精通程序语言&数学的可以看看这个小问题是怎么回事，有答案欢迎在下方留言给出真知灼见。
本期过冷水就和大家分享以上几个常见的概率分布的函数图像的绘制方法，大家对pdf函数的使用方法有个熟悉了解就可以了。关于统计的分析方法和应用你我若是有缘会在下期和大家相见。
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