基本电磁场的公式

作者:卓晴博士，清华大学自动化系

更新时间：2020-09-25 Friday

对于导线周围的磁场分布，可以从比奥-萨伐尔（Biot-Savart）定理出发，推导出任意电流导线、或者导体周围的磁感应强度。讨论这个问题主要是为了能够对 电磁炉中的螺旋线圈[1] 周围测磁场进行数值分析研究。

1.毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定理(Biot-Savart Law)： 电流元在空间某点P处产生的磁感应强度的大小与电流元的大小成正比，与电流元所在处到P点的位置矢量和电流元之间的夹角的正弦成正比，而与电流元到P点的距离的平方成反比。

其中是源电流，是积分路径。是源电流危险线元素，是电流元到待求场点的单位向量。

是真空磁导率值。

▲ 毕奥-萨伐尔定律

2.直线导线所产生的磁场

下面是非常常见到的磁场计算公式推导。如果在一段有限长直线电流旁边P点，距离直线电流直线距离为a，计算P点出的磁感应场强B。

(1) 推导方法1

建立如下的坐标系。那么直线上的电流元就是。那么根据Biot-Savart定理，P点的磁场为：

▲ 有限长直线旁边的磁场

其中对于：

的积分，使用simpy库函数进行推导。 将b,c的值代入上述可以得到：

(2) 推导方法2

根据：

那么对于上式两边同时进行微分：

这其中应用到：

那么，由Biot-Savart定理：

最终积分式变为：$${{\mu _0 } \over {4\pi }}\int_c^b {{{d\vec y \times \vec r} \over {r^3 }}} = {{\mu 0 I} \over {4\pi a}}\int{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sin \theta d\theta }$$ 最终可以得到与上式相同的表达式。

3.圆环的磁场 电流元可以表示为： 那么积分：

▲ 圆环磁场

利用基本的Biot-Savart定理，可以得到基本的直线和圆环磁场强度的解析解。那么对于一些复杂的曲线的推导就会非常复杂，具体的结果需要通过数值求解来完成。 可以利用在 Laplace数值逆运算的讨论[2] 给出的一些Python语言实现的数值积分来完成求解。 比如利用下面的梯形数值积分来验证一下直线磁场计算数值解。

1.对于直线磁场数值求解

假设具体的参数为：

直接根据公式：

可以得到：

利用数据进行求解：

经过数值积分结果为：

对比上述结果可以看到结果是非常接近的。

参考资料

[1]

电磁炉中的螺旋线圈: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/108627755

[2]

Laplace数值逆运算的讨论: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/107294049