数值分析复习（二）拉格朗日插值法、插值余项与误差估计

拉格朗日插值法

在数值分析复习（一）线性插值、抛物线插值中我们讨论过线性插值与二次插值,其实都是接下来要讲的拉格朗日插值的特殊情况，接下来我们一一分析：

定义插值基函数：

若n次多项式

l_j(x)(j=0,1,\cdots,n)

在n+1个节点

x_0<x_1<\cdots<x_n

上满足条件：

l_j(x_k)= \left\{ \begin{array}{l} 1,k=j, \\ 0,k\neq j,\\ \end{array} \right. j,k=0,1,\cdots,n

就称这n+1个n次多项式

l_0(x),l_1(x),\cdots l_n(x)

为节点

x_0,x_1,\cdots,x_n

上的n次插值基函数。

l_k(x)=\frac{(x-x_0) \cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_n)}{(x_k-x_0) \cdots (x_k-x_{k-1}) (x_k-x_{k+1} \cdots (x_k-x_n)},k=0,1,\cdots,n

引入记号：

拉格朗日插值多项式可变换为：

L_n(x)=\sum_{k=0}^{n}y_k l_k(x)=\sum_{k=0}^{n}y_k \frac{ \omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega_{n+1}^{'}(x_k)}

当n=1时，

L_1(x)=y_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+y_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}

,为线性插值

当n=2时，

L_2(x)=y_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}

,展开后可得抛物线插值

注：n次插值多项式

L_n(x)

通常是次数为n的多项式，特殊情况下次数可能小于n，如当二次插值多项式插值的三点共线时

L_2(x)

将退化为一次多项式

插值余项与误差估计

设

R_n(x)=f(x)-L_n(x),x\in [a,b]

为插值多项式的截断误差，也称余项

有如下定理：

通过余项表达式我们可以知道，若插值函数

f_(x) \in H_n

（

H_n

代表次数小于等于n的多项式集合），由于

f^{(n+1)}(x)=0

，故

R_n(x)=f(x)-L_n(x)=0

，即它的插值多项式为其本身。