矩阵分析笔记（六）矩阵等价与线性映射的最简表示

矩阵等价

矩阵A\cong B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B

线性映射的最简表示

在指定了空间V_1与V_2的基之后，便可以求得线性映射\mathscr{A}:V_1\to V_2在指定一对基下的矩阵表示。但是空间基是不唯一的，自然应该考虑以下两个问题：

1. 线性映射在不同对基下的矩阵表示之间有什么关系？
2. 对一个线性映射，能否选择一对基，使它的矩阵表示最简单（零多）？

先回答第一个问题

设\mathscr{A}是V_1\to V_2的一个线性映射，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n与\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n是V_1的两组基，由\alpha_i到\alpha^{'}_i的过渡矩阵为P。设\beta_1,\beta_2,...,\beta_m与\beta^{'}_1,\beta^{'}_2,...,\beta^{'}_m是V_2的两组基，由\beta_j到\beta^{'}_j的过渡矩阵为Q。线性映射\mathscr{A}在基\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n与\beta_1,\beta_2,...,\beta_m下的矩阵表示为A，在基\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n与\beta^{'}_1,\beta^{'}_2,...,\beta^{'}_m下的矩阵表示为B，则

证明：

由假设条件知

$$ \begin{gather} \mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)A \tag{1}\\ \mathscr{A}(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)=(\beta^{'}_1,\beta^{'}_2,...,\beta^{'}_m)B \tag{2}\\ (\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P \tag{3}\\ (\beta^{'}_1,\beta^{'}_2,...,\beta^{'}_m)=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)Q \tag{4} \end{gather} $$

将式(3)和式(4)带入式(2)得

$$ \begin{gather} \mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P=(\beta_1,\beta_2,..,\beta_m)QB \tag{5} \end{gather} $$

将式(1)带入式(5)得

$$ \begin{aligned} (\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)AP=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)QB \end{aligned} $$

因为(\beta_1,\beta_2,...,\beta_m)线性无关，故

由于Q是满秩方阵（因为过渡矩阵都是满秩的），所以

回答第二个问题

大学线性代数中有这么一个结论：对于m\times n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形

将式(6)带入式(2)得

$$ \begin{aligned} \mathscr{A}(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)&=(\beta^{'}_1,\beta^{'}_2,...,\beta^{'}_m)Q^{-1}AP\\ &=(\beta^{'}_1,\beta^{'}_2,...,\beta^{'}_m)\begin{bmatrix}E_r& 0_{r\times (n-r)}\\0_{(m-r)\times r}&0_{(m-r)\times (n-r)}\end{bmatrix}_{m\times n} \end{aligned} $$

所以，对于一个线性映射，一定可以找到一对基，使得线性映射对应的矩阵最简单

线性变换

接下来的线性映射\mathscr{A}都是指线性空间V到V的映射，特称这样的\mathscr{A}为线性空间V的线性变换。由于线性变换时线性空间V到它自身的映射，所以只需取V的一组基\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n即可

设\alpha = \begin{bmatrix}\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots x_n\end{bmatrix} \in V，若

则原像\alpha与像\mathscr{A}(\alpha)的坐标变换公式为

例1

设\mathbb{R}^3中线性变换\mathscr{A}将基

变为基

1. 求\mathscr{A}在基\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3下的矩阵表示A
2. 求向量\xi=(1,2,3)^T及\mathscr{A}(\xi)在基\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3下的坐标
3. 求向量\xi及\mathscr{A}(\xi)在基\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,\alpha^{'}_3下的坐标

解：（1）

$$ \because \mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)A=(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,\alpha^{'}_3)\\ \therefore A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,\alpha^{'}_3)=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&1&2\\0&1&1\end{bmatrix} $$

（2）

设\xi=\begin{bmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}，即

解得

所以\xi在基\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3下的坐标为(10,-4,-9)^T

\mathscr{A}(\xi)在基\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3下的坐标可由公式(7)得

（3）

设\xi=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}，即

\mathscr{A}(\xi)在基\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3下的坐标可由公式(7)得

例2

求线性空间\mathbb{R}^3绕指定了正方向的固定轴旋转角度\theta的变换\mathscr{A}的矩阵表示

解：以O为起点沿旋转轴正方向取单位长有向线段，记为e_z，再取以O为起点的另两单位长有向线段e_x,e_y，使得e_x,e_y,e_z构成线性空间V中的右手直角坐标系。入口基和出口基都选为e_x,e_y,e_z

因此\mathscr{A}的矩阵表示为\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}

例3

求几何空间中以XOY面为镜面反射变换\mathscr{B}的矩阵表示

解：

$$ \begin{aligned} \mathscr{B}(e_x,e_y,e_z)&=\begin{bmatrix}e_x&e_y&-e_z\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}e_x&e_y&e_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \end{aligned} $$

因此\mathscr{B}的矩阵表示为\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}

线性变换的运算

设\mathscr{A},\mathscr{B}是线性空间V的两个线性变换，\lambda \in \mathbb{F}

1. 加法：(\mathscr{A}+\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{B}(\alpha)
2. 乘法：\mathscr{AB}(\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha))
3. 数乘：(\lambda\mathscr{A})(\alpha)=\lambda \mathscr{A}(\alpha)
4. 可逆：设\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}=E，其中E为恒等变换，这时变换\mathscr{B}称为\mathscr{A}的拟变换，记为\mathscr{A}^{-1}

问题：对于一般的线性映射，能否定义加法、乘法、数乘？

很明显加法和数乘都可以，乘法不行（维度不匹配）

不同基下的矩阵关系

设\mathscr{A}为线性空间V上的线性变换，设\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n与\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n为V的基且过渡矩阵为P。若\mathscr{A}在基\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n下的矩阵表示为A，在基\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n下的矩阵表示为B，则

证明：

由已知得

$$ \begin{aligned} \mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)A \\ \mathscr{A}(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)=(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)B \\ (\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P \end{aligned} $$

于是有

$$ \begin{aligned} \because (\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)&=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P\\ \therefore \mathscr{A}(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)&=\mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P\\ &=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)AP\\ \because \mathscr{A}(\alpha^{'}_1,\alpha^{'}_2,...,\alpha^{'}_n)&=((\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P)B\\ &=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)PB\\ \therefore AP=PB &\Rightarrow B=P^{-1}AP \end{aligned} $$

相似

设A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}，若存在P\in \mathbb{F}^{n\times n}，满足

则称B与A相似，记为B\sim A

同构

设V_1,V_2为线性空间，若存在一一映射\sigma:V_1\to V_2满足\forall \alpha, \beta \in V_1, \lambda \in \mathbb{F}，有

$$ \begin{aligned} \sigma(\alpha+\beta)&=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)\\ \sigma(\lambda \alpha)&=\lambda \sigma(\alpha) \end{aligned} $$

则称V_1与V_2同构，\sigma称为同构映射

同构的充要条件

数域\mathbb{F}上两个有限维线性空间V_1,V_2同构的充要条件是\dim (V_1)=\dim (V_2)

同构的性质

同构映射具有以下四个基本性质

1. \sigma(0)=0, \sigma(\alpha)=-\sigma(\alpha)
2. \sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_s\alpha_s)=k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+···k_s\sigma(\alpha_s)
3. V中向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s线性相（无）关\Longleftrightarrow像\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),...,\sigma(\alpha_s)线性相（无）关
4. 如果V_1是V的一个子空间，则V_1在\sigma下的像集合\sigma(V_1)=\{\sigma(\alpha)\mid \alpha \in V_1\}是\sigma(V)的子空间，并且V_1与\sigma(V_1)维数相同