给 定 一 个 正 整 数 m ， 及 两 个 整 数 a 、 b 。 如 果 a − b 被 m 整 除 ， 则 称 a 与 b 模 m 同 余 ， 记 作 a ≡ b ( m o d m ) 否 则 称 a 与 b 模 m 不 同 余 ， 记 作 a ≢ b ( m o d m ) 。 给定一个正整数m，及两个整数a、b。\\如果a-b被m整除，则称a与b模m同余，记作a≡b(mod m) \\否则称a与b模m不同余，记作a≢ b(mod m)。给定一个正整数m，及两个整数a、b。
如果a−b被m整除，则称a与b模m同余，记作a≡b(modm)
否则称a与b模m不同余，记作a≢b(modm)。
性质：
a , b 模 m 同 余 ⇔ a = b + K m k 为 任 意 整 数 a,b模m同余\Leftrightarrow a=b+Km \quad k为任意整数a,b模m同余⇔a=b+Kmk为任意整数
自反性：a ≡ a （ m o d m ) a≡a（mod \quad m)a≡a（modm)
对称性：a ≡ b （ m o d m ) ⇔ b ≡ a （ m o d m ) a≡b（mod \quad m)\Leftrightarrow b≡a（mod \quad m)a≡b（modm)⇔b≡a（modm)
传递性：a ≡ b （ m o d m ) 且 b ≡ c （ m o d m ) ⇒ a ≡ c ( m o d m ) a≡b（mod \quad m)且 b≡c（mod \quad m)\Rightarrow a≡c (mod \quad m)a≡b（modm)且b≡c（modm)⇒a≡c(modm)
a ≡ b （ m o d m ) 且 c ≡ d （ m o d m ) 则 ① a + c = b + d （ m o d m ) ② a c = b d （ m o d m ) a≡b（mod\ m)且c≡d（mod\ m) \\则 \\①a+c=b+d（mod\ m)\\②ac=bd（mod\ m)a≡b（mod m)且c≡d（mod m)
则
①a+c=b+d（mod m)
②ac=bd（mod m)
结论：
a i ≡ b i （ m o d m ) ( i = 1 , 2 , 3..... , k ) 则 ① ∑ i = 1 k a i ≡ ∑ i = 1 k b i ( m o d m ) ② ∏ i = 1 k a i ≡ ∏ i = 1 k b i ( m o d m ) a_i≡b_i（mod \quad m) (i=1,2,3.....,k)\\则\\ ①\sum_{i=1}^{k}a_i\equiv \sum_{i=1}^{k}b_i(mod\ m)\\ \\ \\ ②\prod_{i=1}^{k}a_i\equiv \prod_{i=1}^{k}b_i(mod\ m)
推论：
① a ≡ b （ m o d m ) ⇒ n a ≡ n b ( m o d m ) 其 中 a 为 整 数 ② a ≡ b （ m o d m ) ⇒ a n ≡ b n ( m o d m ) 其 中 a 为 整 数 ① a≡b（mod \quad m)\Rightarrow na≡nb (mod \quad m) 其中a为整数\\② a≡b（mod \quad m)\Rightarrow a^n≡b^n (mod \quad m) 其中a为整数
敲公式不易，转走请附上链接，谢谢。
a c ≡ b c （ m o d m ) 且 G C D ( c , m ) = 1 ⇒ a ≡ b ( m o d m ) ac≡bc（mod \quad m)且GCD(c,m)=1 \ \Rightarrow a≡b (mod \quad m)a ≡ b （ m o d m ) ⇒ a n ≡ b n ( m o d m n ) 其 中 n > 0 a≡b（mod \quad m)\Rightarrow an≡bn (mod \quad mn) \ 其中n>0a ≡ b （ m o d m ) 且 d ∣ g c d ( a , b , m ) ⇒ a / d ≡ b / d ( m o d m / d ) a≡b（mod \quad m)且d|gcd(a,b,m)\Rightarrow a/d≡b/d (mod \quad m/d)a ≡ b （ m o d m ) 且 d ∣ m ⇒ a ≡ b （ m o d d ) a≡b（mod \quad m)且d|m\Rightarrow a≡b（mod \quad d)a ≡ b （ m o d m i ) ( i = 1 , 2 , 3..... , k ) ⇔ a ≡ b （ m o d L c m [ m 1 , m 2 . . . . m k ] ( i = 1 , 2 , 3..... , k ) a≡b（mod \quad m_i) (i=1,2,3.....,k) \Leftrightarrow a≡b（mod \quad Lcm[m_1,m_2....m_k] (i=1,2,3.....,k)a ≡ b （ m o d m ) ⇒ g c d ( a , m ) = g c d ( b , m ) a≡b（mod \quad m)\Rightarrow gcd(a,m)=gcd(b,m)
