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矩阵分析笔记(八)λ矩阵和jordan分块

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mathor
发布2020-10-29 15:26:03
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多项式

定义:n是非负整数,\mathbb{F}是一个数域,a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{F}

f(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+···a_1\lambda+a_0

称为数域上关于\lambda的一元多项式

如果a_n\neq 0,则称a_n\lambda^nf(\lambda)的首项,n称为多项式的次数,记为\partial(f(\lambda)),于是\partial(f(\lambda))=n

如果a_0=a_1=···=a_n=0,称该多项式为零多项式,规定\partial(f(\lambda))=-∞

如果a_0\neq 0, a_1=···=a_n=0,称该多项式为零次多项式,\partial(f(\lambda))=0,即该多项式为非零常数

多项式的带余除法

定义:f(\lambda),g(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda],如果g(\lambda)\neq 0,则存在q(\lambda),r(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda],使得

f(\lambda)=g(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda)

其中,要么r(\lambda)=0,要么r(\lambda)\neq 0\partial(r(\lambda))<\partial(g(\lambda))

q(\lambda)称为g(\lambda)f(\lambda)的商,r(\lambda)称为余式

如果r(\lambda)=0,则称g(\lambda)整除f(\lambda),记为g(\lambda)|f(\lambda)

多项式的公因式,公倍式
  • f(\lambda),g(\lambda),d(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda],如果d(\lambda)|f(\lambda)d(\lambda)|g(\lambda),则称d(\lambda)f(\lambda),g(\lambda)的公因式
  • f(\lambda),g(\lambda),d(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda],如果f(\lambda)|d(\lambda)g(\lambda)|d(\lambda),则称d(\lambda)f(\lambda),g(\lambda)的公倍式
  • 最大公因式GCD:次数最大的公因式
  • 最小公倍式LCM:次数最小的公倍式

如果GCD(f(\lambda),g(\lambda))=1f(\lambda)g(\lambda)称为互质

质因式分解
f(\lambda)=(q_1(\lambda))^{r_1}(q_2(\lambda))^{r_2}···(q_s(\lambda))^{r_s}

其中q_i(\lambda)为不可约多项式,即q_i(\lambda)不能表示成两个次数比q_i(\lambda)低的多项式的乘积

类比实数域中的,任何一个合数都可以分解为几个质数的乘积

一个多项式是否可约,关键要看数域\mathbb{F},例如


$\lambda$矩阵

以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵,简称为\lambda矩阵。记号\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]表示所有mn列的\lambda矩阵的集合,矩阵的元素是系数在\mathbb{F}中的\lambda的多项式。也就是说,A(\lambda)\in \mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]表示A(\lambda)=[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n},其中,a_{ij}(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]

方阵A的特征矩阵\lambda I-A也是\lambda矩阵,例如

多项式矩阵和通常矩阵的主要区别在于:其元素所在的运算系统——多项式环\mathbb{F}[x]——不是一个域,所以通常矩阵的性质中,涉及到除法的,对于多项式矩阵不再成立

$\lambda$矩阵的秩

\lambda矩阵的秩,也用rank表示,是指其值为非零多项式的子行列式的最大阶数。换言之,多项式矩阵的秩为r是指:存在r阶子行列式,其值为非零多项式;且所有阶数≥r+1的子行列式的值均为零多项式。零矩阵的秩为0

可逆的$\lambda$矩阵

一个n\lambda矩阵是可逆的,若存在多项式矩阵V(\lambda)\in \mathbb{F}^{n\times n}[\lambda]使得

U(\lambda)V(\lambda)=V(\lambda)U(\lambda)=I_n

这里I_nn阶单位阵,其中称为U(\lambda)的逆矩阵,记为U^{-1}(\lambda)

定理:一个n\lambda矩阵U(\lambda)可逆的充要条件是\det U(\lambda)是一个非零常数

注:n\lambda矩阵U(\lambda)的秩为n,不等价于U(\lambda)可逆,这是与数字矩阵不相同之处,例如U(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda &1\\1&\lambda\end{bmatrix}

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