矩阵分析笔记（八）λ矩阵和jordan分块

多项式

定义：n是非负整数，\mathbb{F}是一个数域，a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{F}

称为数域上关于\lambda的一元多项式

如果a_n\neq 0，则称a_n\lambda^n为f(\lambda)的首项，n称为多项式的次数，记为\partial(f(\lambda))，于是\partial(f(\lambda))=n

如果a_0=a_1=···=a_n=0，称该多项式为零多项式，规定\partial(f(\lambda))=-∞

如果a_0\neq 0, a_1=···=a_n=0，称该多项式为零次多项式，\partial(f(\lambda))=0，即该多项式为非零常数

多项式的带余除法

定义：f(\lambda),g(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda]，如果g(\lambda)\neq 0，则存在q(\lambda),r(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]，使得

其中，要么r(\lambda)=0，要么r(\lambda)\neq 0且\partial(r(\lambda))<\partial(g(\lambda))

q(\lambda)称为g(\lambda)除f(\lambda)的商，r(\lambda)称为余式

如果r(\lambda)=0，则称g(\lambda)整除f(\lambda)，记为g(\lambda)|f(\lambda)

多项式的公因式，公倍式

• f(\lambda),g(\lambda),d(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]，如果d(\lambda)|f(\lambda)且d(\lambda)|g(\lambda)，则称d(\lambda)为f(\lambda),g(\lambda)的公因式
• f(\lambda),g(\lambda),d(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]，如果f(\lambda)|d(\lambda)且g(\lambda)|d(\lambda)，则称d(\lambda)为f(\lambda),g(\lambda)的公倍式
• 最大公因式GCD：次数最大的公因式
• 最小公倍式LCM：次数最小的公倍式

如果GCD(f(\lambda),g(\lambda))=1，f(\lambda)和g(\lambda)称为互质

质因式分解

其中q_i(\lambda)为不可约多项式，即q_i(\lambda)不能表示成两个次数比q_i(\lambda)低的多项式的乘积

类比实数域中的，任何一个合数都可以分解为几个质数的乘积

一个多项式是否可约，关键要看数域\mathbb{F}，例如

$\lambda$矩阵

以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵，简称为\lambda矩阵。记号\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]表示所有m行n列的\lambda矩阵的集合，矩阵的元素是系数在\mathbb{F}中的\lambda的多项式。也就是说，A(\lambda)\in \mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]表示A(\lambda)=[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n}，其中，a_{ij}(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]

方阵A的特征矩阵\lambda I-A也是\lambda矩阵，例如

多项式矩阵和通常矩阵的主要区别在于：其元素所在的运算系统——多项式环\mathbb{F}[x]——不是一个域，所以通常矩阵的性质中，涉及到除法的，对于多项式矩阵不再成立

$\lambda$矩阵的秩

\lambda矩阵的秩，也用rank表示，是指其值为非零多项式的子行列式的最大阶数。换言之，多项式矩阵的秩为r是指：存在r阶子行列式，其值为非零多项式；且所有阶数≥r+1的子行列式的值均为零多项式。零矩阵的秩为0

可逆的$\lambda$矩阵

一个n阶\lambda矩阵是可逆的，若存在多项式矩阵V(\lambda)\in \mathbb{F}^{n\times n}[\lambda]使得

这里I_n是n阶单位阵，其中称为U(\lambda)的逆矩阵，记为U^{-1}(\lambda)

定理：一个n阶\lambda矩阵U(\lambda)可逆的充要条件是\det U(\lambda)是一个非零常数

注：n阶\lambda矩阵U(\lambda)的秩为n，不等价于U(\lambda)可逆，这是与数字矩阵不相同之处，例如U(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda &1\\1&\lambda\end{bmatrix}