图论--最大团问题
一、定义
一个无向图 G=(V，E)，V 是点集，E 是边集。取 V 的一个子集 U，若对于 U 中任意两个点 u 和 v，有边 (u,v)∈E，那么称 U 是 G 的一个完全子图。 U 是一个团当且仅当 U 不被包含在一个更大的完全子图中。
G的最大团指的是定点数最多的一个团。
简单来说，极大团是增加任一顶点都不再符合定义的团，最大团是图中含顶点数最多的极大团，最大独立集是除去图中的团后的点集，而最大团问题就是在一个无向图中找出一个点数最多的完全图。
二、常用结论
1、最大团点的数量=补图中最大独立集点的数量
2、二分图中，最大独立集点的数量+最小覆盖点的数量=整个图点的数量
3、二分图中，最小覆盖点的数量=最大匹配的数量
4、图的染色问题中，最少需要的颜色的数量=最大团点的数量
三、算法实现
毕竟是NP完全问题，所以具体使用，什么算法，区别不是很大，具体体现在剪枝上！
对于弦图来说，求最大团一般使用 MCS 算法，而对于一般图来说，常使用 Bron-Kerbosch 算法
【Bron-Kerbosch 算法】 Bron-Kerbosch 算法用于计算图中的最大的全连通分量，即计算图的最大团。
1.算法原理 Bron-Kerbosch 算法的基础形式是一个递归回溯的搜索算法，其通过给定三个集合：R、P、X 来递归的进行搜索
初始化集合 R、X 分别为空，集合 P 为所有顶点的集合 每次从集合 P 中取顶点 {vi}，当集合中没有顶点时，有两种情况： 1）集合 R 是最大团，此时集合 X 为空 2）无最大团，此时回溯 对于每一个从集合 P 中取得的顶点 {vi}，有如下处理： 1）将顶点 {vi} 加到集合 R 中，集合 P、X 与顶点 {vi} 得邻接顶点集合 N{vi} 相交，之后递归集合 R、P、X 2）从集合 P 中删除顶点 {vi}，并将顶点 {vi} 添加到集合 X 中 3）若集合 P、X 都为空，则集合 R 即为最大团 总的来看，就是每次从集合 P 中取 vi 后，再从 P∩N{vi} 集合中取相邻结点，保证集合 R 中任意顶点间都两两相邻
伪代码过程
BronKerbosch1(R,P,X):
if P and X are both empty:
report R as a maximal clique
for each vertex v in P:
BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
P := P \ {v}
X := X ⋃ {v}2.算法优化 对于基础的算法，由于其递归搜索了所有情况，对其中有些不是最大团的也进行了搜索，效率不高，为了节省时间让算法更快的回溯，可以通过设定关键点来进行搜索。
由于对于任意的最大团，其必须包括顶点 {u} 或 N-N{u}，不然其必然需要通过添加它们来进行扩充，这显然矛盾，所以仅需测试顶点 {u} 以及 N-N{u} 即可。
伪代码过程：
BronKerbosch2(R,P,X):
if P and X are both empty:
report R as a maximal clique
choose a pivot vertex u in P ⋃ X
for each vertex v in P \ N(u):
BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
P := P \ {v}
X := X ⋃ {v}由于其是通过选择特殊点，来进行最小化递归调用，一定程度上节省了时间，但还可以与降序的方式结合使用，来保证在线性的时间内求子图的最大团
伪代码过程：
BronKerbosch3(G):
P = V(G)
R = X = empty
for each vertex v in a degeneracy ordering of G:
BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
P := P \ {v}
X := X ⋃ {v}3.实现
int n,m;
bool G[N][N];
int cnt[N];//cnt[i]为>=i的最大团点数
int group[N];//最大团的点
int vis[N];//记录点的位置
int res;//最大团的数目
bool dfs(int pos,int num){//num为当前独立集中的点数
for(int i=pos+1;i<=n;i++){
if(cnt[i]+num<=res)//剪枝，若取i但cnt[i]+已经取了的点数仍<ans
return false;
if(G[pos][i]){//与当前团中元素比较，取Non-N(i)
int j;
for(j=0;j<num;j++)
if(!G[i][vis[j]])
break;
if(j==num){//若为空，则皆与i相邻，则此时将i加入到最大团中
vis[num]=i;
if(dfs(i,num+1))
return true;
}
}
}
if(num>res){//每添加一个点最多使最大团数+1,后面的搜索就没有意义了
for(int i=0;i<num;i++)//最大团的元素
group[i]=vis[i];
res=num;//最大团中点的数目
return true;
}
return false;
}
void maxClique(){
res=-1;
for(int i=n;i>0;i--){//枚举所有点
vis[0]=i;
dfs(i,1);
cnt[i]=res;
}
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(G,0,sizeof(G));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
G[x][y]=1;
G[y][x]=1;
}
//建立反图
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j)
G[i][j]=0;
else
G[i][j]^=1;
}
}
maxClique();
if(res<0)
res=0;
printf("%d\n",res);//最大团的个数
for(int i=0;i<res;i++)//最大团中的顶点
printf("%d ",group[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}四、刷题练手
1、裸题：ZOJ 1492 Maximum Clique HDU 1530
2、稍微麻烦点的题：HDU 3585 maximum shortest distance
3、一般无向图最大独立集的题目：POJ 1419 Graph Coloring
4、来一个染色问题：POJ 1129 Channel Allocation