数学--数论--四大定理之威尔逊定理
威尔逊定理 当 ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) (p−1)!≡−1(modp)(p−1)!≡−1(modp)时，p pp为素数。 p ∣ ( p − 1 ) ! + 1 p∣(p−1)!+1p∣(p−1)!+1 即( p − 1 ) ! ≡ ( p − 1 ) ≡ − 1 ( m o d p ) (p−1)!≡(p−1)≡−1(mod p)(p−1)!≡(p−1)≡−1(modp) 证明（静下心看）： 充分性： ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) ⟺ p ∣ ( p − 1 ) ! + 1 (p−1)!≡−1(modp)⟺p∣(p−1)!+1(p−1)!≡−1(modp)⟺p∣(p−1)!+1 假设p pp 不是质数，且 a aa是 p pp 的质因子。 易知a ∣ ( p − 1 ) ! a∣(p−1)!a∣(p−1)!，则a ∤ ( p − 1 ) ! + 1 a∤(p−1)!+1a∤(p−1)!+1 而p ∣ ( p − 1 ) ! + 1 ⟹ a ∣ ( p − 1 ) ! + 1 p∣(p−1)!+1⟹a∣(p−1)!+1p∣(p−1)!+1⟹a∣(p−1)!+1，前后矛盾！ 故 p pp 一定为质数。 必要性： 必要性：
当p为2，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立
当p为3，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 显然成立
对于p>=5，令M={2,3,4,…,p-2}.
对于a∈M，令N={a,2*a,3*a,4*a,....(p-2)*a,(p-1)*a}
令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2
那么t1*a∈N，t2*a∈N。
若t1*a≡t2*a (mod p) ，那么|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。
因为|t1-t2|*a∈N，与N中元素不能被p除尽矛盾。
所以t1*a≡t2*a不成立。
那么N中元素对p取模后形成的集合为{1,2,3,4,...,p-1}.
设x*a ≡ 1 (mod p)。
当x=1时， x*a=a, 对p取模不为1，所以不成立。
当x=p-1时，(p-1)*a=p*a-a, 对p取模不为1，所以不成立。
当x=a时，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。
综上所述，x,a∈M，并且当a不同时，x也随之不同。
所以，M集合中每一个元素a都能够找到一个与之配对的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).
(p-1)!=1*2*3*...p-1
=1*(2*x1)*(3*x3)*...*(p-1)
所以， (p-1)!≡1*(p-1) (mod p)
即，(p-1)!≡-1 (mod p)
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原始发表：2019-11-30 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
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