回溯算法：求组合总和（三）
给「代码随想录」一个星标吧！
❝这篇可以说是全网把组合问题如何去重，讲的最清晰的了！ 通知：我将公众号文章和学习相关的资料整理到了Github ：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master，方便大家在电脑上学习，可以fork到自己仓库，顺便也给个star支持一波吧！ ❞
40.组合总和II
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-ii/
给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
说明： 所有数字（包括目标数）都是正整数。 解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8, 所求解集为: [ [1, 7], [1, 2, 5], [2, 6], [1, 1, 6] ]
示例 2: 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, 所求解集为: [ [1,2,2], [5] ]
思路
这道题目和39.组合总和如下区别：
- 本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
- 本题数组candidates的元素是有重复的，而39.组合总和是无重复元素的数组candidates
最后本题和39.组合总和要求一样，解集不能包含重复的组合。
「本题的难点在于区别2中：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合」。
一些同学可能想了：我把所有组合求出来，再用set或者map去重，这么做很容易超时！
所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。
很多同学在去重的问题上想不明白，其实很多题解也没有讲清楚，反正代码是能过的，感觉是那么回事，稀里糊涂的先把题目过了。
这个去重为什么很难理解呢，「所谓去重，其实就是使用过的元素不能重复选取。」 这么一说好像很简单！
都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上使用过，一个维度是同一树层上使用过。「没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。」
那么问题来了，我们是要同一树层上使用过，还是统一树枝上使用过呢？
回看一下题目，元素在同一个组合内是可以重复的，怎么重复都没事，但两个组合不能相同。
「所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重」。
为了理解去重我们来举一个例子，candidates = [1, 1, 2], target = 3，（方便起见candidates已经排序了）
选择过程树形结构如图所示：
可以看到图中，每个节点相对于 39.组合总和我多加了used数组，这个used数组下面会重点介绍。
回溯三部曲
- 「递归函数参数」
与39.组合总和套路相同，此题还需要加一个bool型数组used，用来记录同一树枝上的元素是否使用过。
这个集合去重的重任就是used来完成的。
代码如下：
vector<vector<int>> result; // 存放组合集合
vector<int> path; // 符合条件的组合
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
- 「递归终止条件」
与39.组合总和相同，终止条件为 sum > target 和 sum == target。
代码如下：
if (sum > target) { // 这个条件其实可以省略
return;
}
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
sum > target 这个条件其实可以省略，因为和在递归单层遍历的时候，会有剪枝的操作，下面会介绍到。
- 「单层搜索的逻辑」
这里与39.组合总和最大的不同就是要去重了。
前面我们提到：要去重的是“同一树层上的使用过”，如果判断同一树层上元素（相同的元素）是否使用过了呢。
「如果candidates[i] == candidates[i - 1] 并且 used[i - 1] == false，就说明：前一个树枝，使用了candidates[i - 1]，也就是说同一树层使用过candidates[i - 1]」。
此时for循环里就应该做continue的操作。
这块比较抽象，如图：
我在图中将used的变化用橘黄色标注上，可以看出在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：
- used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
- used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
「这块去重的逻辑很抽象，网上搜的题解基本没有能讲清楚的，如果大家之前思考过这个问题或者刷过这道题目，看到这里一定会感觉通透了很多！」
那么单层搜索的逻辑代码如下：
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
// used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
// used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
// 要对同一树层使用过的元素进行跳过
if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
continue;
}
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
used[i] = true;
backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1：这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
used[i] = false;
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
「注意sum + candidates[i] <= target为剪枝操作，在39.组合总和有讲解过！」
C++代码
回溯三部曲分析完了，整体C++代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
if (sum == target) {
result.push_back(path);
return;
}
for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
// used[i - 1] == true，说明同一树支candidates[i - 1]使用过
// used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
// 要对同一树层使用过的元素进行跳过
if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
continue;
}
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
used[i] = true;
backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
used[i] = false;
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
vector<bool> used(candidates.size(), false);
path.clear();
result.clear();
// 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
return result;
}
};
总结
本题同样是求组合总和，但就是因为其数组candidates有重复元素，而要求不能有重复的组合，所以相对于39.组合总和难度提升了不少。
「关键是去重的逻辑，代码很简单，网上一搜一大把，但几乎没有能把这块代码含义讲明白的，基本都是给出代码，然后说这就是去重了，究竟怎么个去重法也是模棱两可」。
所以Carl有必要把去重的这块彻彻底底的给大家讲清楚，「就连“树层去重“和“树枝去重”都是我自创的词汇，希望对大家理解有帮助！」
就酱，如果感觉「代码随想录」诚意满满，就帮Carl宣传一波吧，感谢啦！
腾讯云开发者
