排列组合晋级-详讲三种微观统计分布

最近过冷水接触到统计方面的知识，作为统计概率的入门知识——排列组合，弄的我晕头转向，先考大家一个小问题“有N(5)个小球，含有i(7)个各不相同的小盒,一般情况下小盒数大于小球数。每个小盒只能放一个小球请问有多少种放置方式(C)？”。这样的问题标准解公式应该怎么给？有兴趣的可以留言

在解决上述问题之前，过冷水带大家一起学习一下其他类型的排列组合问题。启迪大家思维。过冷水给大家讲讲简单的排列组合的问题，我们有黑色圆，红黄蓝三种颜色的正方形。

现在我们在限定情况的条件下，三个小球和其余任意一种颜色方形组成有序排列请问有多少种排列方式？根据枚举法可得：

共有C=12种排列方式。所以当有人咨询我“共有100个黑色小球、10个红色小球、5个蓝色小球 、二个黄色小球，随机组成117个有序排列”。他也会让过冷水给他进行枚举法演示咯？我当然不会这么做。我会用抽象的数学语言告诉他共有多少种排列方式。大家和我一起看看这个抽象的数学语言是怎么得到的。

这针对上述实际问题，第一个小球可能出现的位置有4，第二个小球可能出现的位置有3个。第三个小球出现的位置有二个，第四个小球的的位置有1个所以,C=4!。It is error!当每个小球都能够区分标记的时候自然是C=4!,实际情况是有黑色小球不能区分的情况，所以根据高中排列组合不计顺序的组合方式为 C=4!/(3!1!)=4，该组合表示四个小球中三个小球颜色一样，一个小球颜色不一样有多少种组合方式。三种颜色中选择那种颜色是不确定的，所以有三种选择，故真正组合数为C=4!/(3!1!)*3=12即为上述问题的解。该简单问题的组合数问题对于有独特观察力的高手来说一眼就能够看出答案，过冷水提出小球组合的问题也是为了提出一个案例来辅助理解将提出的更具有一般性的答案方式。

对于有i组样本（图形形状），每组中有wi个子类型(颜色)，从抽i组中抽取ni个进行排列组合。则抽取的组合数有wini,对于1,2,3,4... 样本所能抽取的组合数就有∏wini

由于之间的排序可以是任意的所以就有N(⅀ni)个粒子可以交换位置，所以每种组合数有N!种排列，但是同一种类型的同种颜色之间的互换是不产生新的序列的，所以应该除去/∏ni,最终的状态数为

这就是玻尔兹曼分布。

过冷水再来带大家看另外一种分布。N个相同的小球放入i个互不相同的盒子中，每个盒子里的球没有限制，可有可无，请问有多少种方法？

这种高中的排列组合问题让我们一起来温习一下其解法，让盒子和小球混合在一起进行排序，两个盒子之间的小球认为放在左边盒子中，所以最左方固定放盒子如下图：

则这种排列方式有C=(N+i-1)!=(10+5-1)!=8.7178e+10,所以这应该就是排序方式了？其中N个小球完全相同不可分辨，所以应该除去N!因为盒子的位置次序并不重要所以应该除去（i-1）!,所以最终组合方式为

最后我们讲讲费米分布，费米分布理解起来比较容易，意思是一个盒子中放置一个小球，请问有多少种放法？

显然第一个小球可以放入5个盒子中的任意一个，第二个小球可以放入4个盒子中的任意一个，第三个小球有3种方法，抽象出放置方式个数为：

以上三种分布就是过冷水在学习过程中遇到的实际案例，柑橘高中学习的排列组合知识全还给老师了，就和大家重温一下排列组合问题。要是带过冷水把初中、高中知识温习一遍后，关于排列组合的问题继续深入详讲。