矩阵分析笔记（九）Gram矩阵

欧氏空间

V是\mathbb{R}上的线性空间，定义映射

对于\alpha, \beta \in V，将\sigma(\alpha, \beta)记为<\alpha, \beta>\sigma满足：

1. 对称性：<\alpha.\beta>=<\beta, \alpha>
2. （右）齐次性：<\alpha, k\beta>=k<\alpha,\beta>
3. （右）可加性：<\alpha, \beta+\gamma>=<\alpha,\beta>+<\alpha, \gamma>
4. 非负性：<\alpha,\alpha>≥0<\alpha,\alpha>=0\Leftrightarrow\alpha=0

则称\sigma为V上的（实）内积，当V是有限维时，称其为欧氏空间（\mathbb{R}^n为标准欧氏空间）

实际上\alpha是一个向量，\beta是一个向量，<\alpha, \beta>\alpha与向量\beta的内积，结果是一个实数

实内积的性质

1. （左）齐次性：<k\alpha, \beta>=k<\alpha,\beta>
2. （左）可加性：<\alpha+\beta, \gamma>=<\alpha,\gamma>+<\beta, \gamma>
3. <k_1\alpha_1+···+k_s\alpha_s,\beta>=k_1<\alpha_1,\beta>+···k_s<\alpha_s,\beta>
4. <\alpha,k_1\beta_1+···+k_s\beta_s>=k_1<\alpha,\beta_1>+···k_s<\alpha,\beta_s>

复内积

V是\mathbb{C}上的线性空间，定义映射

对于\alpha, \beta \in V，将\sigma(\alpha, \beta)记为<\alpha, \beta>\sigma满足：

1. 共轭对称性：<\alpha.\beta>=\overline{<\beta, \alpha>}
2. （右）齐次性：<\alpha, k\beta>=k<\alpha,\beta>
3. （右）可加性：<\alpha, \beta+\gamma>=<\alpha,\beta>+<\alpha, \gamma>
4. 非负性：<\alpha,\alpha>≥0<\alpha,\alpha>=0\Leftrightarrow\alpha=0

则称\sigma为V上的（复）内积，当V是有限维时，称其为酉空间（\mathbb{R}^n为标准欧氏空间）

复内积的性质

1. （左）齐次性：<k\alpha, \beta>=\bar{k}<\alpha,\beta>
2. （左）可加性：<\alpha+\beta, \gamma>=<\alpha,\gamma>+<\beta, \gamma>
3. <k_1\alpha_1+···+k_s\alpha_s,\beta>=\overline{k_1}<\alpha_1,\beta>+···\overline{k_s}<\alpha_s,\beta>
4. <\alpha,k_1\beta_1+···+k_s\beta_s>=k_1<\alpha,\beta_1>+···k_s<\alpha,\beta_s>

线性组合的内积的矩阵表示

\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t是\mathbb{C}上的内积空间V中的两个向量组，则

$$ \begin{aligned} <k_1\alpha_1+···+k_s\alpha_s,l_1\beta_1+···+l_t\beta_t>\\ =(\overline{k_1},...,\overline{k_s})\begin{bmatrix}<\alpha_1,\beta_1>&\cdots &<\alpha_1,\beta_t>\\ \vdots & \ddots &\vdots \\<\alpha_s,\beta_1> &\cdots & <\alpha_s,\beta_t>\end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_1\\ \vdots \\ l_t\end{bmatrix} \end{aligned} $$

Gram矩阵

\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t是\mathbb{C}上的内积空间V中的两个向量组，则

称为\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t的协Gram矩阵，记为G(\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t)

\alpha_1,...,\alpha_s是\mathbb{C}上的内积空间V中的一个向量组，则

称为\alpha_1,...,\alpha_s的Gram矩阵，记为G(\alpha_1,...,\alpha_s)

\alpha_1,...,\alpha_s是\mathbb{C}^n中的一个向量组，记A=(\alpha_1,...,\alpha_s)，则

其中，A^H=(\bar{A})^T=\overline{(A^T)}

\alpha_1,...,\alpha_s是\mathbb{R}^n中的一个向量组，记A=(\alpha_1,...,\alpha_s)，则

\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t是\mathbb{C}上的内积空间V中的两个向量组，如果\alpha_1,...,\alpha_s可由\beta_1,...,\beta_t线性表出，且

则

Gram矩阵的性质

1. Rank(G)=rank(\alpha_1,...,\alpha_s)
2. Hermite性：G^H=G
3. 非负性：\forall x\in \mathbb{C}^s，复二次型x^HGx≥0，并且G正定\Leftrightarrow \alpha_1,...,\alpha_s线性无关

度量矩阵

\alpha_1,...,\alpha_n是\mathbb{C}上的n维内积空间V中的一个基，则Gram矩阵G(\alpha_1,...,\alpha_n)称为基\alpha_1,...,\alpha_n的度量矩阵。向量的内积由度量矩阵唯一决定

若\alpha,\beta \in V，\alpha,\beta在基\alpha_1,...,\alpha_n下的坐标为x,y\in \mathbb{C}^n，则