强化学习离轨策略：从失败中获得成功经验 - 以追女孩为例 | 采样率的数学意义

简介：我一个朋友小拍，姐妹众多，稳如老狗。姐妹们常疑惑：小拍同学 会吃会玩会聊天，上知美妆，下知韩综，中晓穿搭，做事靠谱，为人颇有原则 ，竟然没追成过一个女孩？要我说，这其实没什么可大惊小怪的，我刚认识小拍那阵子，他还是个钢铁小直男呢。 用强化学习的角度看，小拍在这几年做了很好的离轨策略（off-policy）学习，即从自己和别人“追女生”这个过程中学习经验，无论结果成败，都能有效地学到东西。 本文我们就以“追女孩”为例，讨论离轨策略，进而引申出“重要度采样比”/“采样率”的数学意义解释（主要引用台湾大学李宏毅老师的观点）。

本文目录：

•离轨策略：从失败与别人的经验中学习•重要度采样比：修正“理解”的偏差

离轨策略：从失败与别人的经验中学习

在强化学习中， 我们要学到的/收敛逼近的控制策略，一定是最优的。 以追女生为例，小拍心里的目的只有一个：用最好的方式追成功。

很显然， 我们要学习的策略，一定是一个“能让我们成功的策略” ，但问题是：

•小拍 自己从未成功过，只有失败的经验 ，他可以从中学到什么吗？•别人的经验或是成功的、或是失败的，但 小拍不可能完全复制下来 ，小拍可以从中学到什么吗？

对于强化学习学习来讲，上述两个问题的答案都是 肯定 的。

在 Sutton 的经典书籍中，在 第五章第五节 首次提到 “离轨策略（off-policy）” 这个概念。

虽然第五章才被介绍，但 “离轨策略” 这个概念，却几乎是 强化学习实践 中最为重要的概念之一，因为：

•强化学习的 数据往往只能通过与环境交互得出 ，这造成了其数据获取成本过大，且少之又少；•而书中 5.5 节前的简单直接的迭代式，只能 一边使用当前控制策略，一边改进当前控制策略（同轨策略，on-policy） ，这容易造成一些没有被探索过的方法，永远都不被尝试（固步自封），也会 导致我们无法使用之前的、别人的数据 。

小拍亲口为我们做了类比：

•同轨策略： 这次失败了，这个方法不好，嗯，把这个方法改进一下，下次尝试！•离轨策略： 我使用的方法，并不一定是我目前认为最好的方法；或者说，不管我用什么方法，我都能从中学到东西，并且自我提升，寻找我的最优方法。如果别人有经验，我也可以从中有所收获！

或许你已经可以看出， 同轨策略是离轨策略的一种特殊形式 ，在设计算法时， 如果其可以满足离轨策略要求，其一定可以进行同轨策略的学习。

且在实践中，我们 很难不使用 离轨策略：

•在与环境的交互中，我们尽量不要使用当前的最优策略 （同轨策略学习方式） ，因为这样我们会“谨小慎微”，不敢做出有创意的尝试；•之前的数据要被复用，而之前的数据也是在不同于当前策略的策略下产生的。

重要度采样比：修正“理解”的偏差

在 离轨策略 下，我们 不能使用“想当然”的迭代办法，因为这会造成数学理论上的偏差 ，最终得到不良的学习效果。在使用不同于当前策略的策略获取到的数据时，为了防止“理解”有偏差，我们需要用采样率公式修正。

如果你更喜欢严谨的数学推导，可以查看 Sutton 的《Reinforcement Learning: An Introduction Second Edition》[1]。但是说实话，我今年一月份第一次学习这部分时，不是很懂 off-policy 与重要度采样比这个概念。

如上，我在 CSDN 找到了我关于这部分的笔记[2]，现在看来， 只是写到了效果，当时还是没有写到“为什么”。

后来学习了 李宏毅老师的深度学习课程 ，李老师略带着讲了一些强化学习：李老师连 MDP 这个基础假设都没介绍，但是其一些关于强化学习的观点却让我眼前一亮，尤其是 在介绍 PPO 前对采样率从分布角度上的介绍。

这里，我们仅从 数据采样 角度讨论采样率。

如上，简单的推导后，我们找到了 p 采样与 q 采样的联系，且可以通过 E_{x~q} 轻易地得到 E_{x~p} 。而那个分式，不就是我们的采样率嘛！

下面 从分布实例 具体解释一下。

图源：李宏毅老师课程录屏

如上，f(x) 的值在数据分布上用红线表示。我们可以看出：如果基于 p(x) 对 f(x) 进行采样，那最后得到的期望值应该是负值，因为 p(x) 总是倾向于在 f(x) 左侧采样（图中的蓝线，在左侧很高）。

但是，我们目前只能基于 q(x) 采样得到数据，而 q(x) 总是倾向于在 f(x) 右侧采样（图中的绿线，在右侧很高）。这就导致了采样到的 f(x) 数据都是正的。 如果不加采样率，我们会错误的认为： p(x) 下采样的 f(x) 期望是某个正值。

如何消除这种偏差呢？ 足够多的采样+采样率公式 。

图源：李宏毅老师课程录屏

如上，当我们进行了足够多的采样后： 尽管 q(x) 下很小的概率在左侧获取数据，但一旦我们获取到，我们将通过采样率“很好地”对其进行利用。

如上图中左侧的绿点，因为 q(x) 在左侧值很小，而 p(x) 在左侧值很大，则根据采样率公式，我们给左侧的数据一个很大的权重，这样，我们便“修正了”偏差。在 足够的采样+采样率 的加持下，我们可以正确地估计出： p(x) 下采样的 f(x) 期望是某个负值。

我很重视我文章的正确性，有不同意见，欢迎给我发邮件： piperliu@qq.com[3] 。

后记：这篇文章原本的标题是如何理解强化学习中『离轨策略的采样率』？让我们做一个简单的推导，但后来成文时我灵光乍现： 离轨策略是从非最优中学习最优策略，这不正是从失败中学习成功经验嘛！ 结合我朋友小拍的个人经历（有哪件事是我朋友一直在失败，但却一直在进步来着？） ...因此从强化学习的角度看，追过那么多女孩，四舍五入小拍也算谈过恋爱吧！不多说了兄弟姐妹们，点个再看再走吧~

引用链接

[1] 《Reinforcement Learning: An Introduction Second Edition》: http://incompleteideas.net/book/the-book-2nd.html [2] 我关于这部分的笔记: https://blog.csdn.net/weixin_42815609/article/details/104025586 [3] piperliu@qq.com: mailto:piperliu@qq.com