如何确定插值滤波器的阶数

  在信号处理中，滤波器的系数我们往往都是通过MATLAB来设计，只要我们知道滤波器的通带截止频率和阻带起始频率，就可以通过MATLAB中的fdatool（在MATLAB2020中使用filterDesigner）来设计滤波器了。

  我们使用归一化的参数来设计，通带截止频率是025，阻带起始频率是0.3，通带内纹波是0.2，阻带衰减是60dB，参数设置如下：

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  那么问题来了，对于插值滤波器，如何确定通带和阻带的频率呢？这就涉及到我们刚开始学习数字信号处理时的插值和抽取理论。当信号抽取时，在数字频率上，信号的频谱是展宽的，当信号插值时，在数字频率上，信号的频谱是压缩的。这里我们强调数字频率，不是模拟频率，因为100MHz的采样率去采中频10MHz、带宽1MHz的信号，那么抽取2倍后，这个信号的频率还是10MHz，带宽还是1MHz，那为什么说数字频率上频谱展宽了呢？因为数字频率的2pi对应采样率。

  我们以信号处理书上这个经典的例子为例，原始信号的带宽是2pi/3，采样率是2pi，经过3倍抽取后，采样率由fs变为fs/3；而抽取后信号的采样率依旧对于数字域的2pi，因此原先的fs就对应6pi，信号带宽也就变成了2pi。

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  而抽取滤波器则刚好相反，对于3倍的插值滤波器，信号带宽在数字频率上，缩小了1/3。也就是原来0~pi的区间缩小到0~pi/3，因此信号的截止频率就是pi/3，我们在设计滤波器时，直接指定截止频率是pi/3即可，至于阻带起始频率，我们可以设计的比通带截止频率稍大一些即可，同时还要考虑滤波器阶数，如果过渡带太窄了，滤波器阶数会太高。像我们上面设计的那个滤波器，正好可以适用于4倍插值滤波器。

  这里我们再提供一种解决方案，这种方法也是我强烈推荐的，就是当我们对一种设计没有头绪时，可以参考mathworks给出的设计。从哪参考呢？当然是MATLAB程序。我们知道Matlab的一个强大之处在于给我们提供了很多API可以调用，为我们节省了不少时间，而且大多数的函数我们都是可以看到源码的。比如我们今天所说的插值滤波器，可以直接使用resample函数，比如要对向量sig插值4倍，就可以直接使用sig2 = resample(sig, 4, 1)。这次我们再打开resample这个函数，可以看到：

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这里的N是10，也就是说，如果是p倍插值，Matlab给出的插值滤波器阶数是2x10xp，也就是4倍插值滤波器对应阶数是80阶。再用firls来设计滤波器，最后再给滤波器加个kaiser窗。其实我们也可以直接使用fir2函数来设计，就是把图中高亮的行换成：

h = fir2(L - 1, [0 2*fc 2*fc 1], [1 1 0 0]);

fir2函数默认就是加了hamming窗的。使用这种方法设计的滤波器频响如下：

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