自然常数e到底自然在哪？(7k字)

秦农序

科学Sciences导读：数学的自然规律。公号对话框发送“自然常数e”获取7k字26图9页PDF自然常数e到底自然在哪？。关键词：自然常数，e，根号8，无理数，数学(mathematics)，。QinlongGEcai微信被封，转向自用、科普文章、学术论文OAJ电子刊免费开放获取。

自然常数e到底自然在哪？

科研狗，科学Sciences©20201125Wed

奇妙の自然常数e

自然常数 e 是一个奇妙的数字，这里的 e 并不仅仅代表一个字母，它还是一个数学中的无理常数，约等于2.718281828459。

但你是否有想过，它到底怎么来的呢？为啥一个无理数却被人们称之为“自然常数”？

说到e，我们会很自然地想起另一个无理常数π。π的含义可以通过下图中的内接与外切多边形的边长逼近来很形象的理解。

假设一个圆的直径为1，其外切与内接多边形的周长可以构成π 的估计值的取值范围上下限，内接与外切多边形的边越多，取值范围就越窄，只要边数足够多，取值范围上下限就可以越来越逼近圆周率π 。

如果说π 的计算很直观，那e 呢？所以在此也用一种图解法来直观理解e。

首先，我们需要知道e 这个表示自然底数的符号是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的正是Euler的首字母“e ”。

Leonhard Euler (1707-1783) (图片来源: Wikipedia)

但实际上，第一个发现这个常数的，并非欧拉本人，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli）。

伯努利家族

伯努利家族是17〜18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族，其中出了很多著名的数理科学家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。总之，大佬们之间有着千丝万缕的联系。

要了解e 的由来，一个最直观的方法是引入一个经济学名称“复利(Compound Interest)”。

复利率法（英文：compound interest），是一种计算利息的方法。按照这种方法，利息除了会根据本金计算外，新得到的利息同样可以生息，因此俗称“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利”。只要计算利息的周期越密，财富增长越快，而随着年期越长，复利效应亦会越为明显。

在引入“复利模型”之前，先试着看看更基本的 “指数增长模型”。

我们知道，大部分细菌是通过二分裂进行繁殖的，假设某种细菌1天会分裂一次，也就是一个增长周期为1天，如下图，这意味着：每一天，细菌的总数量都是前一天的两倍。

显然，如果经过x 天（或者说，经过x 个增长周期）的分裂，就相当于翻了x 倍。在第x 天时，细菌总数将是初始数量的2x 倍。如果细菌的初始数量为1，那么x 天后的细菌数量即为2x ：

如果假设初始数量为K，那么x 天后的细菌数量则为K ·2x ：

因此，只要保证所有细菌一天分裂一次，不管初始数量是多少，最终数量都将是初始数量的2x 倍。因此也可以写为：

上式含义是：第x 天时，细菌总数量是细菌初始数量的Q 倍。

如果将 “分裂”或“翻倍”换一种更文艺的说法，也可以说是：“增长率为100%”。那我们可以将上式写为：

当增长率不是100%，而是50%、25%之类的时候，则只需要将上式的100%换成想要的增长率即可。这样就可以得到更加普适的公式：

这个公式的数学内涵是：一个增长周期内的增长率为r，在增长了x 个周期之后，总数量将为初始数量的Q 倍。

以上为指数增长的简单实例，下面来看看雅可比·伯努利的发现：

假设你有1元钱存在银行里，此时发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（夸张一下，为了方便计算）。如果银行一年付一次利息，自然在一年后你可以拿到1元的本金（蓝色圆）和1元的利息（绿色圆），总共两元的余额。

现在银行的年利率不变，但银行为了招揽客户，推出一项惠民政策，每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候，你就能够提前从银行拿到0.5元的利息了。

机智的你会马上把这0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也将在下一结算周期产生利息(红色圆)，专业术语叫“复利”，那么年底的存款余额将等于2.25元。

此时，我们可以换个角度这样看：即，每个结算（增长）周期为半年，每半年的利率是50%（或者说100%/2），一年结算两次利息，且第一次结算完后，立马将利息存入。此时我们的计算公式和结果如下：

继续，假设现在银行为了和其他银行抢生意，短期不想赚钱了，每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年结算一次利息类似：即，每个结算周期为四个月，每四个月的利率是33.33%（或者说100%/3），一年结算三次利息，且前两次结算完后，都立马将所有利息存入。

此时计算公式和结果如下：

我的天，年利率虽然没有变，但随着每年利息交付次数的增加，你年底能从银行拿到的钱居然也在增加！

那么是不是会一直增大到无穷大呢？想得倒美…

现在假设存款人和银行都疯了，银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息，存款人天天呆在银行不走，拿到利息就往银行里存。这样，所得利息即所谓“连续复利”。

但是，你会发现，似乎有一个“天花板”挡住了你企图靠1块钱疯狂赚取1个亿的小目标，这个“天花板”就是e ！

如果，我们进行一系列的迭代运算，我们将看到以下结果：

其中，n 指的是一年中结算利息的次数。

只要在年利率保持100%不变的情况下，不断地提高利息的结算次数，余额就将会逼近e =2.718281845…

然后，终于可以祭出这个高等数学微积分里计算e 的一个重要极限了：

现在再回头看这个重要极限，想必会有更加直观的理解。

也就是说，就算银行的年利率是100%，再怎么求银行给你“复利”，年底也不可能得到超过本金e倍的余额。况且，我是没见过哪个银行的年利率是100%。

虽然正常的银行不会推出连续复利这种优惠政策，但在自然界中，大多数事物都处在一种“无意识的连续增长”状态中。对于一个连续增长的事物，如果单位时间的增长率为100%，那么经过一个单位时间后，其将变成原来的e倍。生物的生长与繁殖，就也类似于“利滚利”的过程。

再比如，在等角螺线中：

等角螺线

如果用极坐标表示，其通用数学表达式为：

其中，a、b 为系数，r 螺线上的点到坐标原点的距离，θ 为转角。这正是一个以自然常数e 为底的指数函数。

例如，鹦鹉螺外壳切面就呈现优美的等角螺线：

鹦鹉螺外壳

热带低气压的外观也像等角螺线：

热带低气压

就连旋涡星系的旋臂都像等角螺线：

旋涡星系

或许这也是e 被称为“自然常数”的原因吧。当然，自然常数e 的奇妙之处还远不止这些，一本书都写不完。

今天，要给和大家分享一个严肃的数学问题（正色）。

问题的主角就是一个神奇的无理数：自然常数e。

在初中阶段，“无理数”这个概念走进了大家的课本。

老师会告诉大家，非完全平方数的平方根（比如根号2）就是有理数，还有圆周率π也是无理数。如果你再仔细查查资料翻翻书的话，就会发现，很多地方还提到，自然常数e也是无理数，它的数值约等于2.7182818285。

e的位置大概就在比2大一点、比3小一点的这个地方

到了高中，在学到指数函数和对数函数的时候，自然常数e终于正式登上了数学课堂。

书上说：如果a^x=N（a＞0且a≠1），那么x就叫做以a为底、N的对数，记作x=logaN。比如，2^3=8，那么3就是以2为底8的对数。

书上还说，以10为底的对数可以简写为lg，以e为底的对数还可以简写成ln。

就算你还没有上高中，也应该在科学计算器上见过这个“ln”了

……等一下，把以10为底的对数写成lg还可以理解，毕竟10在日常生活中还挺常用的。

但是e有什么特殊的意义吗？凭什么以e为底的对数也有这么好的待遇呢？

难道e君身上有什么神秘的主角光环？

当年e君在上学的时候一定是坐后排靠窗这个座位的！

……当然不可能啦！

e确实有它的过人之处，足以让它担得起“自然常数”这个名号，且听细细道来e代表的是什么？

给大家举一个例子：

假如你现在手里有1元钱，想利用这1元钱来生出更多的钱来，于是把它存到了银行里。银行也非常看好你这种理财头脑，大发慈悲给了你一个超级大福利：把年利率涨到了100%。也就是说，一年之后这1块钱就会变成2块钱啦。

但是你觉得等1年实在是太长了，半年算一次行不行？银行说：没问题呀，一年的利率是100%，那半年的利率就是50%了。

你掐指一算：没关系，我可以过半年把钱取出来再存进去，这样就能实现利滚利的操作了呀！这样一来，一年之后这1元钱就变成了2.25元钱，比之前的2元多了0.25元呢！

感觉自己好机智！通过机智的操作，我们白赚了0.25块钱

既然有甜头可赚，那还能不能再多赚点呢？当然可以啦～如果把取钱存钱的这个时间缩短到每4个月操作一次，获得的利息还可以进一步增长，也就是这个式子：

甚至如果你能够做到月月取、周周取甚至天天取，还能获得更大的收益哦！

诶～这样一来，岂不是可以靠着存钱取钱这种操作，直接变成大富翁？

……

……

大家有没有发现，每次缩短取钱时间，利息增长的幅度好像也越来越少了？

这并不是你的错觉。事实上，这个数额确实最终会趋近于一个“天花板”。想来也是，银行怎么可能让你白赚这么多钱呢┐(´∇｀)┌。

而这个就算你每时每分每秒都在存钱取钱，最终也无法突破的收益天花板，就是这篇文章的主角——e君啦～

从刚刚讲到的例子，其实就是e的一种定义方法。把它用数学的语言简单粗暴地表示出来，可以写成下面这个式子：

这个式子的意思是，当n的数值越来越大，要多大有多大，最后变得无限大的时候，(1+1/n)^n的数值将会越来越接近于一个数，这个数就是自然常数——e。

e的“自然”之处

通过上面的例子，我们不难发现，只要是涉及到和“增长”有关的概念，自然常数e就会出现。在大自然中，无论是生物的生长与繁殖，还是放射性物质的衰变……类似于复利问题这样的增长方式比比皆是。

e代表的是某种“增长的极限值”，是一种内在的规律。如果说π代表了一个完美的圆周长，那么e就代表了一次完美的增长。

虽然现在人们使用极限运算的概念来定义了e，但是仔细想来，e和π都只是安安静静地在数学历史的长河中等待人们发现的一个“秘密”。无论你学过数学还是没学数学，e都在那里，宠辱不惊，颇有种冥冥之中自有e意的感觉……

怎么样，这样看来e君是不是确实挺“自然”的？

大噶好，我是e君，要记住我的名字哟

不过，同样都是自然界的无理数，与π相比，e的名气也远远不如π那么响亮。

π君发展到了今天，不仅已经有了专属希腊字母，还有特别节日3月14日和代表食物披萨（雾），其知名程度已经到了数学界内外开花的程度。而e君毕竟比较年轻，定义又比π抽象不少，知名度并不高。

但是这也并没有妨碍e君圈粉——不如说，即使e君这么低调，还能成为e君粉丝的人，可以说是相当死忠了——谷歌公司就是一个例子。

2004年，谷歌还是一家蓄势待发正准备上市的公司，当时谷歌公司在文件中宣布，它将要出售价值为2,718,281,828美元的股票。

这个数字看上去漫不经心，实际上正好是自然常数e的前几位。由此看来，谷歌公司真的是e君的死忠粉哇！

谷歌为什么会选择e作为融资数额我们不得而知，但是觉得这个选择有点浪漫～

2004年谷歌上市现场

看过这篇文章之后，是不是觉得自然常数还挺名副其实的？

- THE END -

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(注：相关素材[1-x]图文版权归原作者所有。)

Appx.素材(3h字)

1. 来源：中科院物理所、科研狗，编辑：黛、菁; 广东共青团. 自然常数e到底自然在哪？. [EB/OL], 搜狐, https://www.sohu.com/a/315313905_155251, 2019-05-20 22:02; visit date: 2020-11-25-Wed.

2. 自然常数「e」，它到底「自然」在哪儿？. [EB/OL], 数学加油吧, https://mp.weixin.qq.com/s/Ej3wwyzJiMMgtpY2fi8-Vw, visit date: 2020-11-24; visit date: 2020-11-25-Wed.

x. 秦陇纪. 西方哲学与人工智能、计算机; 人工智能达特茅斯夏季研究项目提案(1955年8月31日)中英对照版; 人工智能研究现状及教育应用; 计算机操作系统的演进、谱系和产品发展史; 数据科学与大数据技术专业概论; 文本数据溯源与简化. [EB/OL], 数据简化DataSimp(公号), https://dsc.datasimp.org/, http://www.datasimp.org, 2017-06-06.

—END—

免责说明：素材出处可溯源监督。本号不持有任何倾向性，不认可其观点所述。

秦农跋

科学传入我国一百多年未能普及。国人爱在语言思维层次肤浅地认知自然社会；科技诉求均直奔结果，忽视基础、过程和环境。四百年前欧洲人用神话传说、宗教信条、世俗权威、家庭说教等故事认知世界，只能盲信盲从一言蔽之的思辨道理。但是，哥白尼、牛顿、马可尼、特里维西克、法拉第、麦克斯韦、居里夫妇、爱因斯坦等理性之人，分析具体现象、确定问题、测量数据，用数学表达理论、发掘自然规律。1687年7月5日，艾萨克·牛顿(Isaac Newton)阐述三大运动定律等科学知识的《自然哲学的数学原理》(Mathematical Principles of Nature Philosophy现常简称《原理》)出版，完成近代科学革命，奠定古典物理和现代工程学基础。三百多年来，牛顿等科学家引领的自然科学研究，使西方文明从古希腊、文艺复兴后脱胎换骨，开启了人类文明最强引擎，引领人类认知快速发展。数学是科学之母。科学的目标是找到一定的自然社会规律；科学的方法是观察、测量、实验和证明；科学的精神是假设、质疑和深入；科学的理论是科学家对自然社会做出定性又定量的数学描述和解释；科学实验是验证一定现象背后的确定规律或理论假说，由针对性的观察、测量技术支持，科学和技术是相辅相成、不可分割的。技术的本质是工具技能，不是语言文字和思想意识。

科学是建立在数学和测量数据基础之上璀璨的人类文明，但有其范围并非万能。人类认知的高级阶段是在道德、哲学、数学、逻辑、数据等思维层次，对初级的感觉、情绪、外表、印象、语言、记忆等自然社会现象认知，做出更为深刻、理性、智慧和长久的判断和总结。高级认知对错交织但形态稳定，主要存在于宗教、艺术、技术、科学等领域，并且不能替代低级认知。若无数学理论支持的科学认知，仅有语言思维来总结自然社会现象，将止步于宽泛肤浅的语言思辨道理。基础教育如果停留在语言道理或代替设计实验、工程实践的文化知识，则会形成新的认知愚昧。但若罔顾人情社会，用科技手段无所不做、走向某些错误极端，将付出更加沉重的代价。不论什么认知和思想，都不能代替或凌驾于现实世界和自然人。

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