上篇笔记里介绍了微环谐振器的一些基础知识点,有些地方表达得不是很准确,被一位读者指出来了(感谢long_rain的指正),这篇笔记继续查漏补缺。
1. 临界耦合、过耦合和欠耦合
以全通型微环为例,
(图片来自文献1)
Through端口的光强为,
这里需要解释下t和a的物理意义,
1)t对应光场bar-coupling的耦合系数,与其对应的kappa,表示光场cross-coupling的耦合系数。两者满足 |t|^2+|kappa|^2=1。
2)a表示光场在微环内的衰减系数,光场Et2经过一圈微环的传播后,衰减为Ei2=a*Et2, 所损失掉的光强为(1-a^2)|Et2|^2。
回到临界耦合的定义,当a=|t|时,Pt1=0。临界耦合时,耦合损耗等于微环的传输损耗。而当a<|t|时,1-a^2>1-|t|^2,此时微环损耗大于耦合损耗,故而称之为欠耦合。类似的,当a>|t|时,1-a^2<1-|t|^2, 此时微环损耗小于耦合损耗,故而称之为过耦合。
另外,从相位的角度看,三者之间也有很大的差异,如下图所示,
(图片来自文献2)
临界耦合时,在共振波长处相位会发生pi的突变,而欠耦合时,相位在共振波长附近连续变化,且波长增加,相位增加。过耦合时,相位在共振波长附近连续变化,波长增加,相位减小。
2. FSR的计算
关于FSR的计算,上篇笔记里有一些笔误,这里用一个更简单的方法,重新推导下。
3. Q值
Q值(quality factor)的定义是,即微环存储的总能量与每传播一圈所损失能量的比值。
Q值反应了光子在微环中的寿命。Q值越大,寿命越长。
对于微环与bus波导构成的整个系统,系统的Q值不单单是微环本征的Q值,还需要考虑微环与bus波导间的耦合,满足下面的关系式,
上式中,Q_0是微环的本征Q值,Q_e是耦合损耗导致的Q值, Q_L是系统整体的Q值。
上篇笔记中提到,过耦合时,微环的损耗较小,此时本征Q值较小,但是考虑到微环与直波导之间的耦合,系统整体的Q值是比较大的。这一点从光谱图中也能直接观测出来,
光谱的FWHM越大,对应的Q值越小。
4. Transfer matrix与耦合模理论
最后再聊聊处理微环问题的两种理论,一种是传输矩阵方法,另外一种是耦合模理论。传输矩阵的方法,即上篇笔记中所采用的方法,考虑光场在耦合区和微环内的线性传输演化。而耦合模理论从能量的角度看问题,考虑微环和bus波导间能量随时间的变化。在弱耦合情况下,两者是等效的。
以add-drop型微环结构为例,
(图片来自文献3)
微环内的光场随时间的变化,满足下式,
光场在微环内传输时,存在三个方面的损耗来源,与两根直波导的耦合损耗以及自身的传输损耗,另外还有来自input port光场的贡献。mu与gamma满足下面的关系式,
结合,
求解微分方程,可以得到,
最终可以得到Transmission的表达式,
从上式可以看出,微环的光谱满足Lorenz线型,3dB带宽为2*gama。通过耦合模理论,无法得到FSR的表达式。
此外,耦合模理论只适用于共振波长附近的光场。两者一个从时域,一个从空间上考虑问题。
以上是对微环谐振器基础知识点的一些补充,文章中如果有任何错误和不严谨之处,还望大家不吝指出,欢迎大家留言讨论。也欢迎大家向我提问,小豆芽会尽自己的能力给出解释。另外,微信讨论1群和2群都已经满员,3群还有位置,有需要的朋友可以加入进来讨论硅光技术。大家也可以添加我的个人微信photon_walker。
参考文献