微环谐振器基础(2)

上篇笔记里介绍了微环谐振器的一些基础知识点，有些地方表达得不是很准确，被一位读者指出来了(感谢long_rain的指正)，这篇笔记继续查漏补缺。

1. 临界耦合、过耦合和欠耦合

以全通型微环为例，

（图片来自文献1）

Through端口的光强为，

这里需要解释下t和a的物理意义，

1）t对应光场bar-coupling的耦合系数，与其对应的kappa，表示光场cross-coupling的耦合系数。两者满足 |t|^2+|kappa|^2=1。

2）a表示光场在微环内的衰减系数，光场Et2经过一圈微环的传播后，衰减为Ei2=a*Et2, 所损失掉的光强为(1-a^2)|Et2|^2。

回到临界耦合的定义，当a=|t|时，Pt1=0。临界耦合时，耦合损耗等于微环的传输损耗。而当a<|t|时，1-a^2>1-|t|^2，此时微环损耗大于耦合损耗，故而称之为欠耦合。类似的，当a>|t|时，1-a^2<1-|t|^2, 此时微环损耗小于耦合损耗，故而称之为过耦合。

另外，从相位的角度看，三者之间也有很大的差异，如下图所示，

（图片来自文献2）

临界耦合时，在共振波长处相位会发生pi的突变，而欠耦合时，相位在共振波长附近连续变化，且波长增加，相位增加。过耦合时，相位在共振波长附近连续变化，波长增加，相位减小。

2. FSR的计算

关于FSR的计算，上篇笔记里有一些笔误，这里用一个更简单的方法，重新推导下。

3. Q值

Q值(quality factor)的定义是，即微环存储的总能量与每传播一圈所损失能量的比值。

Q值反应了光子在微环中的寿命。Q值越大，寿命越长。

对于微环与bus波导构成的整个系统，系统的Q值不单单是微环本征的Q值，还需要考虑微环与bus波导间的耦合，满足下面的关系式，

上式中，Q_0是微环的本征Q值，Q_e是耦合损耗导致的Q值， Q_L是系统整体的Q值。

上篇笔记中提到，过耦合时，微环的损耗较小，此时本征Q值较小，但是考虑到微环与直波导之间的耦合，系统整体的Q值是比较大的。这一点从光谱图中也能直接观测出来，

光谱的FWHM越大，对应的Q值越小。

4. Transfer matrix与耦合模理论

最后再聊聊处理微环问题的两种理论，一种是传输矩阵方法，另外一种是耦合模理论。传输矩阵的方法，即上篇笔记中所采用的方法，考虑光场在耦合区和微环内的线性传输演化。而耦合模理论从能量的角度看问题，考虑微环和bus波导间能量随时间的变化。在弱耦合情况下，两者是等效的。

以add-drop型微环结构为例，

（图片来自文献3）

微环内的光场随时间的变化，满足下式，

光场在微环内传输时，存在三个方面的损耗来源，与两根直波导的耦合损耗以及自身的传输损耗，另外还有来自input port光场的贡献。mu与gamma满足下面的关系式，

结合，

求解微分方程，可以得到，

最终可以得到Transmission的表达式，

从上式可以看出，微环的光谱满足Lorenz线型，3dB带宽为2*gama。通过耦合模理论，无法得到FSR的表达式。

此外，耦合模理论只适用于共振波长附近的光场。两者一个从时域，一个从空间上考虑问题。

以上是对微环谐振器基础知识点的一些补充，文章中如果有任何错误和不严谨之处，还望大家不吝指出，欢迎大家留言讨论。也欢迎大家向我提问，小豆芽会尽自己的能力给出解释。另外，微信讨论1群和2群都已经满员，3群还有位置，有需要的朋友可以加入进来讨论硅光技术。大家也可以添加我的个人微信photon_walker。

参考文献

1. R. Menendez, "Fiber-Optic Ring Resonator Interferometer"
2. I. Demirtzioglou,et.al., "Frequency comb generation in a silicon ring resonator modulator", Opt. Exp. 26，790(2018)
3. V. Van, "Optical Microring Resonators: Theory, Techniques, and Applications"