动态规划：斐波那契数
今天这道题目恰巧是昨天力扣上的每日一题，力扣怎么知道我要拿斐波那契数作为动规的入门题，力扣不会把明天的题目也给我剧透了吧，哈哈哈 通知：我已经将刷题攻略全部整理到了Github ：https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master，方便大家在电脑上阅读，这个仓库每天都会更新，大家快去给一个star支持一下吧！
509. 斐波那契数
题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/fibonacci-number/
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。
示例 1： 输入：2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：输入：3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3： 输入：4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3 提示：
- 0 <= n <= 30
思路
斐波那契数列大家应该非常熟悉不过了，非常适合作为动规第一道题目来练练手。
因为这道题目比较简单，可能一些同学并不需要做什么分析，直接顺手一写就过了。
但「代码随想录」的风格是：简单题目是用来加深对解题方法论的理解的。
通过这道题目让大家可以初步认识到，按照动规五部曲是如何解题的。
对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。
所以我总结的动规五部曲，是要用来贯穿整个动态规划系列的，就像之前讲过二叉树系列的递归三部曲，回溯法系列的回溯三部曲一样。后面慢慢大家就会体会到，动规五部曲方法的重要性。
动态规划
动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
- 确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
- 举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
vector<int> dp(N + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
};
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
递归解法
本题还可以使用递归解法来做
代码如下：
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N < 2) return N;
return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
};
- 时间复杂度：O(2^n)
- 空间复杂度：O(n) 算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间
这个递归的时间复杂度大家画一下树形图就知道了，如果不清晰的同学，可以看这篇：通过一道面试题目，讲一讲递归算法的时间复杂度！
总结
斐波那契数列这道题目是非常基础的题目，我在后面的动态规划的讲解中将会多次提到斐波那契数列！
这里我严格按照关于动态规划，你该了解这些！中的动规五部曲来分析了这道题目，一些分析步骤可能同学感觉没有必要搞的这么复杂，代码其实上来就可以撸出来。
但我还是强调一下，简单题是用来掌握方法论的，动规五部曲将在接下来的动态规划讲解中发挥重要作用，敬请期待！