统计学条件概率、贝叶斯公式

分类加法，分步乘法

1. 分类加法计数原理场景：从甲地到乙地，可以乘火车、汽车、轮船。火车有 4 班、汽车 2 班、轮船 3 班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 2. 分步乘法计数原理场景：从 A 到 B 的道路有 3 条，从 B 到 C 的道路有 2 条，那么从 A 到 B 到 C 总共有多少种不同的走法？

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

排列问题

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号

A_n^m

表示。

A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}

推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行

取第一个：有n种取法； 取第二个：有(n−1)种取法； 取第三个：有(n−2)种取法； …… 取第m个：有(n−m+1)种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

组合问题

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号

C_n^m

表示。

C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}

为什么要除以

A_m^m

，因为要去除重复，

A_m^m

代表把这m个被抽出来的球进行全排序，除代表这么多种的排列组合都代表一个情况(因为组合

C_n^m

是没序的)

等可能概率(古典概型)

定义：若试验满足： 样本空间S中样本点有限(有限性) 出现每一个样本点的概率相等(等可能性) 称这种试验为等可能概型(或古典概型)。

条件概率

全概率公式

贝叶斯公式

先验后验

这是与贝叶斯概率更新有关的两个概念。假如某一不确定事件发生的主观概率 因为某个新情况的出现 而发生了改变，那么改变前的那个概率就被叫做先验概率(上面公式的Bi)，改变后的概率就叫后验概率(上面公式的P(Bi|A) )。

举个简单的更新概率的例子。 想象有 A、B、C 三个不透明的碗倒扣在桌面上，已知其中有（且仅有）一个瓷碗下面盖住一个鸡蛋。此时请问，鸡蛋在 A 碗下面的概率是多少？答曰 1/3。 现在发生一件事：有人揭开了 C 碗，发现 C 碗下面没有蛋。此时再问：鸡蛋在 A 碗下面的概率是多少？答曰 1/2。注意，由于有“揭开C碗发现鸡蛋不在C碗下面”这个新情况，对于“鸡蛋在 A 碗下面”这件事的主观概率由原来的 1/3 上升到了1/2。这里的先验概率就是 1/3，后验概率是 1/2。 也就是说“先”和“后”是相对于引起主观概率变化的那个新情况而言的。

事件独立

推导理解：

因为A1的发生对A2的发生概率不影响