动态规划：分割等和子集可以用01背包！

416. 分割等和子集

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/

题目难易：中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1: 输入: [1, 5, 11, 5] 输出: true 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]. 示例 2: 输入: [1, 2, 3, 5] 输出: false 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

思路

这道题目初步看，是如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

• 698.划分为k个相等的子集
• 473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。

如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：

• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！
• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）

01背包问题

背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能被重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[i] 表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

套到本题，dp[i]表示 背包总容量是i，最大可以凑成i的子集总和为dp[i]。

1. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

1. dp数组如何初始化

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下：

// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 那么背包内总和不会大于20000，所以定义一个20000大的数组。
vector<int> dp(20001, 0); 

1. 确定遍历顺序

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒叙遍历！

代码如下：

// 开始 01背包 
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

1. 举例推导dp数组

dp[i]的数值一定是小于等于i的。

如果dp[i] == i 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和i，理解这一点很重要。

用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：

最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

综上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 那么背包内总和不会大于20000，所以定义一个20000大的数组。
        vector<int> dp(20001, 0); 
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包 
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target 
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;      
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数

总结

这道题目就是一道01背包应用类的题目，需要我们拆解题目，然后套入01背包的场景。

01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是nums[i]，重量是nums[i]i，价值也是nums[i]，背包体积是sum/2。

看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。

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