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发布于 2021-02-01 14:49:59

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发布于 2021-02-01 14:49:59

本文地址：https://leetcode-cn.com/circle/article/qiAgHn/

原文出处：https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/discuss/108870/Most-consistent-ways-of-dealing-with-the-series-of-stock-problems

大家好，我是小 G，今天给大家分享一篇关于股票问题系列的文章，掌握后轻轻松松秒杀 LeetCode 上所有的股票问题。

本文的作者为 Storm，目前在力扣上全站排名第一，已获作者授权转载此文，希望对你刷题有帮助。

前言

此文为转载翻译，和原文相比，这篇文章多了未优化空间的代码，且代码都重新写了，另外更改了部分文字描述。

股票问题一共有六道题：

121、买卖股票的最佳时机
122、买卖股票的最佳时机 II
123、买卖股票的最佳时机 III
188、买卖股票的最佳时机 IV
309、最佳买卖股票时机含冷冻期
714、买卖股票的最佳时机含手续费

每个问题都有优质的题解，但是大多数题解没有建立起这些问题之间的联系，也没有给出股票问题系列的通解。

这篇文章给出适用于全部股票问题的通解，以及对于每个特定问题的特解。

一、通用情况

这个想法基于如下问题：给定一个表示每天股票价格的数组，什么因素决定了可以获得的最大收益？

相信大多数人可以很快给出答案，例如「在哪些天进行交易以及允许多少次交易」。

这些因素当然重要，在问题描述中也有这些因素。

然而还有一个隐藏但是关键的因素决定了最大收益，下文将阐述这一点。

首先介绍一些符号：

用 n 表示股票价格数组的长度；
用 i 表示第 i 天（i 的取值范围是 0 到 n - 1）；
用 k 表示允许的最大交易次数；
用 T[i][k] 表示在第 i 天结束时，最多进行 k 次交易的情况下可以获得的最大收益。

基准情况是显而易见的：T[-1][k] = T[i][0] = 0，表示没有进行股票交易时没有收益（注意第一天对应 i = 0，因此 i = -1 表示没有股票交易）。

现在如果可以将 T[i][k] 关联到子问题，例如 T[i - 1][k]、T[i][k - 1]、T[i - 1][k - 1] 等子问题，就能得到状态转移方程，并对这个问题求解。

如何得到状态转移方程呢？

最直接的办法是看第 i 天可能的操作。有多少个选项？答案是三个：买入、卖出、休息。

应该选择哪个操作？

答案是：并不知道哪个操作是最好的，但是可以通过计算得到选择每个操作可以得到的最大收益。

假设没有别的限制条件，则可以尝试每一种操作，并选择可以最大化收益的一种操作。

但是，题目中确实有限制条件，规定不能同时进行多次交易，因此如果决定在第 i 天买入，在买入之前必须持有 0 份股票，如果决定在第 i 天卖出，在卖出之前必须恰好持有 1 份股票。

持有股票的数量是上文提及到的隐藏因素，该因素影响第 i 天可以进行的操作，进而影响最大收益。

因此对 T[i][k]的定义需要分成两项：

T[i][k][0] 表示在第 i 天结束时，最多进行 k 次交易且在进行操作后持有 0 份股票的情况下可以获得的最大收益；
T[i][k][1] 表示在第 i 天结束时，最多进行 k 次交易且在进行操作后持有 1 份股票的情况下可以获得的最大收益。使用新的状态表示之后，可以得到基准情况和状态转移方程。

基准情况：

T[-1][k][0] = 0, T[-1][k][1] = -Infinity
T[i][0][0] = 0, T[i][0][1] = -Infinity

状态转移方程：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i])
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k - 1][0] - prices[i])

基准情况中，T[-1][k][0] = T[i][0][0] = 0 的含义和上文相同，T[-1][k][1] = T[i][0][1] = -Infinity 的含义是在没有进行股票交易时不允许持有股票。

对于状态转移方程中的 T[i][k][0]，第 i 天进行的操作只能是休息或卖出，因为在第 i 天结束时持有的股票数量是 0。T[i - 1][k][0] 是休息操作可以得到的最大收益，T[i - 1][k][1] + prices[i] 是卖出操作可以得到的最大收益。

注意到允许的最大交易次数是不变的，因为每次交易包含两次成对的操作，买入和卖出。

只有买入操作会改变允许的最大交易次数。

对于状态转移方程中的 T[i][k][1]，第 i 天进行的操作只能是休息或买入，因为在第 i 天结束时持有的股票数量是 1。T[i - 1][k][1] 是休息操作可以得到的最大收益，T[i - 1][k - 1][0] - prices[i] 是买入操作可以得到的最大收益。

注意到允许的最大交易次数减少了一次，因为每次买入操作会使用一次交易。

为了得到最后一天结束时的最大收益，可以遍历股票价格数组，根据状态转移方程计算 T[i][k][0] 和 T[i][k][1] 的值。最终答案是 T[n - 1][k][0]，因为结束时持有 0 份股票的收益一定大于持有 1 份股票的收益。

二、应用于特殊情况

上述六个股票问题是根据 k 的值进行分类的，其中 k 是允许的最大交易次数。最后两个问题有附加限制，包括「冷冻期」和「手续费」。通解可以应用于每个股票问题。

情况一：k = 1

情况一对应的题目是「121. 买卖股票的最佳时机」。

对于情况一，每天有两个未知变量：T[i][1][0] 和 T[i][1][1]，状态转移方程如下：

T[i][1][0] = max(T[i - 1][1][0], T[i - 1][1][1] + prices[i])
T[i][1][1] = max(T[i - 1][1][1], T[i - 1][0][0] - prices[i]) = max(T[i - 1][1][1], -prices[i])

第二个状态转移方程利用了 T[i][0][0] = 0。

根据上述状态转移方程，可以写出时间复杂度为 O (n) 和空间复杂度为 O (n) 的解法。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
        }
        return dp[length - 1][0];
    }
}

如果注意到第 i 天的最大收益只和第 i - 1 天的最大收益相关，空间复杂度可以降到 O (1)。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int profit0 = 0, profit1 = -prices[0];
        int length = prices.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            profit0 = Math.max(profit0, profit1 + prices[i]);
            profit1 = Math.max(profit1, -prices[i]);
        }
        return profit0;
    }
}

现在对上述解法进行分析。对于循环中的部分，profit1 实际上只是表示到第 i 天的股票价格的相反数中的最大值，或者等价地表示到第 i 天的股票价格的最小值。对于 profit0，只需要决定卖出和休息中的哪项操作可以得到更高的收益。如果进行卖出操作，则买入股票的价格为 profit1，即第 i 天之前（不含第 i 天）的最低股票价格。

这正是现实中为了获得最大收益会做的事情。但是这种做法不是唯一适用于这种情况的解决方案。

情况二：k 为正无穷

情况二对应的题目是「122. 买卖股票的最佳时机 II」。

如果 k 为正无穷，则 k 和 k - 1 可以看成是相同的，因此有 T[i - 1][k - 1][0] = T[i - 1][k][0] 和 T[i - 1][k - 1][1] = T[i - 1][k][1]。每天仍有两个未知变量：T[i][k][0] 和 T[i][k][1]，其中 k 为正无穷，状态转移方程如下：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i])
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k - 1][0] - prices[i]) = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k][0] - prices[i])

第二个状态转移方程利用了 T[i - 1][k - 1][0] = T[i - 1][k][0]。

根据上述状态转移方程，可以写出时间复杂度为 O (n) 和空间复杂度为 O (n) 的解法。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[length - 1][0];
    }
}

如果注意到第 i 天的最大收益只和第 i - 1 天的最大收益相关，空间复杂度可以降到 O (1)。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int profit0 = 0, profit1 = -prices[0];
        int length = prices.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            int newProfit0 = Math.max(profit0, profit1 + prices[i]);
            int newProfit1 = Math.max(profit1, profit0 - prices[i]);
            profit0 = newProfit0;
            profit1 = newProfit1;
        }
        return profit0;
    }
}

这个解法提供了获得最大收益的贪心策略：可能的情况下，在每个局部最小值买入股票，然后在之后遇到的第一个局部最大值卖出股票。这个做法等价于找到股票价格数组中的递增子数组，对于每个递增子数组，在开始位置买入并在结束位置卖出。

可以看到，这和累计收益是相同的，只要这样的操作的收益为正。

情况三：k = 2

情况三对应的题目是「123. 买卖股票的最佳时机 III」。

情况三和情况一相似，区别之处是，对于情况三，每天有四个未知变量：T[i][1][0]、T[i][1][1]、T[i][2][0]、T[i][2][1]，状态转移方程如下：

T[i][2][0] = max(T[i - 1][2][0], T[i - 1][2][1] + prices[i])
T[i][2][1] = max(T[i - 1][2][1], T[i - 1][1][0] - prices[i])
T[i][1][0] = max(T[i - 1][1][0], T[i - 1][1][1] + prices[i])
T[i][1][1] = max(T[i - 1][1][1], T[i - 1][0][0] - prices[i]) = max(T[i - 1][1][1], -prices[i])

第四个状态转移方程利用了 T[i][0][0] = 0。

根据上述状态转移方程，可以写出时间复杂度为 O (n) 和空间复杂度为 O (n) 的解法。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        int[][][] dp = new int[length][3][2];
        dp[0][1][0] = 0;
        dp[0][1][1] = -prices[0];
        dp[0][2][0] = 0;
        dp[0][2][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][2][0] = Math.max(dp[i - 1][2][0], dp[i - 1][2][1] + prices[i]);
            dp[i][2][1] = Math.max(dp[i - 1][2][1], dp[i - 1][1][0] - prices[i]);
            dp[i][1][0] = Math.max(dp[i - 1][1][0], dp[i - 1][1][1] + prices[i]);
            dp[i][1][1] = Math.max(dp[i - 1][1][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);
        }
        return dp[length - 1][2][0];
    }
}

如果注意到第 i 天的最大收益只和第 i - 1 天的最大收益相关，空间复杂度可以降到 O (1)。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int profitOne0 = 0, profitOne1 = -prices[0], profitTwo0 = 0, profitTwo1 = -prices[0];
        int length = prices.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            profitTwo0 = Math.max(profitTwo0, profitTwo1 + prices[i]);
            profitTwo1 = Math.max(profitTwo1, profitOne0 - prices[i]);
            profitOne0 = Math.max(profitOne0, profitOne1 + prices[i]);
            profitOne1 = Math.max(profitOne1, -prices[i]);
        }
        return profitTwo0;
    }
}

情况四：k 为任意值

情况四对应的题目是「188. 买卖股票的最佳时机 IV」。

情况四是最通用的情况，对于每一天需要使用不同的 k 值更新所有的最大收益，对应持有 0 份股票或 1 份股票。如果 k 超过一个临界值，最大收益就不再取决于允许的最大交易次数，而是取决于股票价格数组的长度，因此可以进行优化。

那么这个临界值是什么呢？

一个有收益的交易至少需要两天（在前一天买入，在后一天卖出，前提是买入价格低于卖出价格）。如果股票价格数组的长度为 n，则有收益的交易的数量最多为 n / 2（整数除法）。因此 k 的临界值是 n / 2。如果给定的 k 不小于临界值，即 k >= n / 2，则可以将 k 扩展为正无穷，此时问题等价于情况二。

根据状态转移方程，可以写出时间复杂度为 O (nk) 和空间复杂度为 O (nk) 的解法。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        if (k >= length / 2) {
            return maxProfit(prices);
        }
        int[][][] dp = new int[length][k + 1][2];
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            dp[0][i][0] = 0;
            dp[0][i][1] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            for (int j = k; j > 0; j--) {
                dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
                dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[length - 1][k][0];
    }

    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[length - 1][0];
    }
}

如果注意到第 i 天的最大收益只和第 i - 1 天的最大收益相关，空间复杂度可以降到 O (k)。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        if (k >= length / 2) {
            return maxProfit(prices);
        }
        int[][] dp = new int[k + 1][2];
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            for (int j = k; j > 0; j--) {
                dp[j][0] = Math.max(dp[j][0], dp[j][1] + prices[i]);
                dp[j][1] = Math.max(dp[j][1], dp[j - 1][0] - prices[i]);
            }
        }
        return dp[k][0];
    }

    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int profit0 = 0, profit1 = -prices[0];
        int length = prices.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            int newProfit0 = Math.max(profit0, profit1 + prices[i]);
            int newProfit1 = Math.max(profit1, profit0 - prices[i]);
            profit0 = newProfit0;
            profit1 = newProfit1;
        }
        return profit0;
    }
}

如果不根据 k 的值进行优化，在 k 的值很大的时候会超出时间限制。

情况五：k 为正无穷但有冷却时间

情况五对应的题目是「309. 最佳买卖股票时机含冷冻期」。

由于具有相同的 k 值，因此情况五和情况二非常相似，不同之处在于情况五有「冷却时间」的限制，因此需要对状态转移方程进行一些修改。

情况二的状态转移方程如下：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i])
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k][0] - prices[i])

但是在有「冷却时间」的情况下，如果在第 i - 1 天卖出了股票，就不能在第 i 天买入股票。因此，如果要在第 i 天买入股票，第二个状态转移方程中就不能使用 T[i - 1][k][0]，而应该使用 T[i - 2][k][0]。

状态转移方程中的别的项保持不变，新的状态转移方程如下：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i])
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 2][k][0] - prices[i])

根据上述状态转移方程，可以写出时间复杂度为 O (n) 和空间复杂度为 O (n) 的解法。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], (i >= 2 ? dp[i - 2][0] : 0) - prices[i]);
        }
        return dp[length - 1][0];
    }
}

如果注意到第 i 天的最大收益只和第 i - 1 天和第 i - 2 天的最大收益相关，空间复杂度可以降到 O (1)。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int prevProfit0 = 0, profit0 = 0, profit1 = -prices[0];
        int length = prices.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            int nextProfit0 = Math.max(profit0, profit1 + prices[i]);
            int nextProfit1 = Math.max(profit1, prevProfit0 - prices[i]);
            prevProfit0 = profit0;
            profit0 = nextProfit0;
            profit1 = nextProfit1;
        }
        return profit0;
    }
}

情况六：k 为正无穷但有手续费

情况六对应的题目是「714. 买卖股票的最佳时机含手续费」。

由于具有相同的 k 值，因此情况六和情况二非常相似，不同之处在于情况六有「手续费」，因此需要对状态转移方程进行一些修改。

情况二的状态转移方程如下：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i])
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k][0] - prices[i])

由于需要对每次交易付手续费，因此在每次买入或卖出股票之后的收益需要扣除手续费，新的状态转移方程有两种表示方法。

第一种表示方法，在每次买入股票时扣除手续费：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i])
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k][0] - prices[i] - fee)

第二种表示方法，在每次卖出股票时扣除手续费：

T[i][k][0] = max(T[i - 1][k][0], T[i - 1][k][1] + prices[i] - fee)
T[i][k][1] = max(T[i - 1][k][1], T[i - 1][k][0] - prices[i])

根据上述状态转移方程，可以写出时间复杂度为 O (n) 和空间复杂度为 O (n) 的解法。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0] - fee;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
        }
        return dp[length - 1][0];
    }
}

如果注意到第 i 天的最大收益只和第 i - 1 天的最大收益相关，空间复杂度可以降到 O (1)。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int profit0 = 0, profit1 = -prices[0] - fee;
        int length = prices.length;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            int newProfit0 = Math.max(profit0, profit1 + prices[i]);
            int newProfit1 = Math.max(profit1, profit0 - prices[i] - fee);
            profit0 = newProfit0;
            profit1 = newProfit1;
        }
        return profit0;
    }
}

三、总结

总而言之，股票问题最通用的情况由三个特征决定：当前的天数 i、允许的最大交易次数 k 以及每天结束时持有的股票数。

这篇文章阐述了最大利润的状态转移方程和终止条件，由此可以得到时间复杂度为 O (nk) 和空间复杂度为 O (k) 的解法。

该解法可以应用于六个问题，对于最后两个问题，需要将状态转移方程进行一些修改。

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原始发表：2021-01-27，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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