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非线性| 弧长法算例

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fem178
发布2021-02-07 14:34:26
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发布2021-02-07 14:34:26
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非线性 | 弧长法(Arc-Length Methods)

对于一个非线性有限元模型,只有一个自由度

\mathbf u

,外荷载

\mathbf f_0^{ext} =1

,内力为

\mathbf f^{int}=-4(\mathbf u-1)^2+4

切线刚度矩阵

\mathbf K_{T} =\frac {\partial{\mathbf f^{int}}}{\partial{\mathbf u}} =-8(\mathbf u-1)

如图所示,假设某一荷载步迭代收敛时荷载因子

\lambda_0=3.84

\mathbf u_0=0.8

。接下来的荷载步以

\Delta\lambda_1=0.26

开始。

  • 第一迭代步采用牛顿-拉夫逊方法
\lambda_1 = \lambda_0 + \Delta\lambda_1 = 3.84+0.26=4.1
\lambda \mathbf f_0^{ext}-\mathbf f^{int}=4.1*1+4(\mathbf u_0-1)^2-4 =0.26
\mathbf K_{T} =-8(\mathbf u_0-1) = 1.6
\Delta \mathbf u_1 =\frac {0.26}{1.6}=0.1625
\mathbf u_1 = 0.8+0.1625 = 0.9625
  • 第二迭代步 弧长法
\Delta s^2 = \Delta \lambda_1^2 +\Delta \mathbf u_1^2 =0.09401
f=(4.1-3.84)^2+(0.9625-0.8)^2-0.094011=0
\mathbf f^{int}=-4(\mathbf u_1-1)^2+4 =3.994
\mathbf f^{Ⅱ} =-(\lambda \mathbf f_0^{ext} -\mathbf f^{int})=-(4.1-3.994)=-0.1056
\mathbf K_{T} =-8(\mathbf u_1-1) = 0.3
\Delta \mathbf u^{ext} = \frac {1}{0.3}=3.333
\Delta \mathbf u^{Ⅱ} = \frac {-0.1056}{0.3}=-0.3521
\begin{split} \Delta \lambda &= \frac {-f + 2( \mathbf u - \mathbf u_0)^{\mathbf T}\Delta \mathbf u^{Ⅱ}}{2[( \mathbf u - \mathbf u_0)^{\mathbf T}\Delta\mathbf u^{ext} + (\lambda- \lambda_0)]}\\ &=\frac {-0+ 2( 0.9628-0.8)*(-0.3521)}{2[(0.9628-0.8)*3.333 + (4.1-3.84)]}\\ &=-0.07137\end{split}
\Delta \mathbf u_2 = -0.07137*3.333+0.3521 = 0.1142
\mathbf u_2 = 0.9625 + 0.1142 = 1.0767

在每一个随后的子步计算时,一个新的弧长半径会首先被计算出来,该计算是基于上一子步的弧长半径和求解状况而开展的。随后,这个新计算出的弧长半径将进一步被修正,以保证该半径处于上下限之内。当用最小半径也无法收敛时,弧长法将会自动停止。

接下来的迭代:

迭代步

f

u

λ

-fⅡ

3

0.00305898

1.08148605

3.973532132

9.204E-05

4

8.5833E-05

1.07368306

3.978526775

0.00024355

5

4.8669E-08

1.07363526

3.978311405

9.1393E-09

弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法,使用弧长法,可以跟踪复杂的荷载-变形路径。弧长法通过自动建立适当的荷载增量进一步优化了牛顿-拉夫逊方法,使用弧长法,可以跟踪复杂的荷载-变形路径。

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