【刷穿 LeetCode】480. 滑动窗口中位数（困难）
【刷穿 LeetCode】480. 滑动窗口中位数（困难）
题目描述
中位数是有序序列最中间的那个数。
如果序列的长度是偶数，则没有最中间的数；此时中位数是最中间的两个数的平均数。
例如：
[2,3,4]，中位数是3[2,3]，中位数是(2 + 3) / 2 = 2.5
给你一个数组 nums，有一个长度为 k 的窗口从最左端滑动到最右端。
窗口中有 k 个数，每次窗口向右移动 1 位。
你的任务是找出每次窗口移动后得到的新窗口中元素的中位数，并输出由它们组成的数组。
示例：
给出 nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7]，以及 k = 3。
窗口位置 中位数
--------------- -----
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 1
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 -1
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 -1
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 3
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 5
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 6
提示：
- 你可以假设 k 始终有效，即：k 始终小于输入的非空数组的元素个数。
- 与真实值误差在
以内的答案将被视作正确答案。
朴素解法
一个直观的做法是：对每个滑动窗口的数进行排序，获取排序好的数组中的第 k / 2 和 (k - 1) / 2 个数（避免奇偶数讨论），计算中位数。
我们大概分析就知道这个做法至少
的，算上排序的话应该是
。
比较无奈的是，这道题不太正规，没有给出数据范围。我们无法根据判断这样的做法会不会超时。
PS. 实际上这道题朴素解法是可以过的，有蓝桥杯内味了 ~
朴素做法通常是优化的开始，所以我还是提供一下朴素做法的代码：
class Solution {
public double[] medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
int cnt = n - k + 1;
double[] ans = new double[cnt];
int[] tmp = new int[k];
for (int l = 0, r = l + k - 1; r < n; l++, r++) {
for (int i = l; i <= r; i++) tmp[i - l] = nums[i];
Arrays.sort(tmp);
ans[l] = (tmp[k / 2] / 2.0) + (tmp[(k - 1) / 2] / 2.0);
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：最多有
n个窗口需要滑动计算。每个窗口，需要先插入数据，复杂度为
，插入后需要排序，复杂度为
。整体复杂度为
。
- 空间复杂度：使用了长度为
k的临时数组。复杂度为
。
优先队列（堆）解法
从朴素解法中我们可以发现，其实我们需要的就是滑动窗口中的第 k / 2 小的值和第 (k - 1) / 2小的值。
我们知道滑动窗口求最值的问题，可以使用优先队列来做。
但这里我们求的是第 k 小的数，而且是需要两个值。还能不能使用优先队列来做呢？
我们可以维护两个堆：
- 一个大根堆维护着滑动窗口中一半较小的值（此时堆顶元素为滑动窗口中的第
(k - 1) / 2小的值） - 一个小根堆维护着滑动窗口中一半较大的值（此时堆顶元素为滑动窗口中的第
k / 2小的值）
滑动窗口的中位数就是两个堆的堆顶元素的平均值。
实现细节：
- 初始化时，先让
k个元素直接入right，再从right中倒出k / 2个到left中。这时候可以根据left和right得到第一个滑动窗口的中位值。 - 开始滑动窗口，每次滑动都有一个待添加和待移除的数：
2.1 根据与右堆的堆顶元素比较，决定是插入哪个堆和从哪个堆移除
2.2 之后调整两堆的大小（确保只会出现
left.size() == right.size()或right.size() - left.size() == 1，对应了窗口长度为偶数或者奇数的情况） 2.3 根据left堆 和right堆得到当前滑动窗口的中位值
代码：
class Solution {
public double[] medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
int cnt = n - k + 1;
double[] ans = new double[cnt];
// 如果是奇数滑动窗口，让 right 的数量比 left 多一个
// 1.滑动窗口的左半部分
PriorityQueue<Integer> left = new PriorityQueue<>((a,b)->Integer.compare(b,a));
// 2.滑动窗口的右半部分
PriorityQueue<Integer> right = new PriorityQueue<>((a,b)->Integer.compare(a,b));
for (int i = 0; i < k; i++) right.add(nums[i]);
for (int i = 0; i < k / 2; i++) left.add(right.poll());
ans[0] = getMid(left, right);
for (int i = k; i < n; i++) {
// 人为确保了 right 会比 left 多
// 因此，删除和添加都与 right 比较（left 可能为空）
int add = nums[i], del = nums[i - k];
if (add >= right.peek()) {
right.add(add);
} else {
left.add(add);
}
if (del >= right.peek()) {
right.remove(del);
} else {
left.remove(del);
}
adjust(left, right);
ans[i - k + 1] = getMid(left, right);
}
return ans;
}
void adjust(PriorityQueue<Integer> left,
PriorityQueue<Integer> right) {
while (left.size() > right.size())
right.add(left.poll());
while (right.size() - left.size() > 1)
left.add(right.poll());
}
double getMid(PriorityQueue<Integer> left,
PriorityQueue<Integer> right) {
if (left.size() == right.size()) {
return (left.peek() / 2.0) + (right.peek() / 2.0);
} else {
return right.peek() * 1.0;
}
}
}
- 时间复杂度：调整过程中堆大小最大为
k，因此堆操作复杂度为
；窗口数量最多为 n。整体复杂度为
。
- 空间复杂度：最多有
n个元素在堆内。复杂度为
。
注意点
今天的题解发到 LeetCode 后，针对一些同学的评论。
我觉得有一定的代表性，所以拿出来讲讲 ~
- (问)某同学：为什么
new PriorityQueue<>((x,y)->(y-x))的写法会有某些案例无法通过？和new PriorityQueue<>((x,y)->Integer.compare(y,x))写法有何区别？ - (答)三叶：
(x,y)->(y-x)的写法逻辑没有错，AC 不了是因为 int 溢出。 在 Java 中 Integer.compare 的实现是(x < y) ? -1 : ((x == y) ? 0 : 1)。只是单纯的比较，不涉及运算，所以不存在溢出风险。 而直接使用y - x，当y = Integer.MAX_VALUE,x = Integer.MIN_VALUE时，到导致溢出，返回的是 负数 ，而不是逻辑期望的 正数
同样具有溢出问题的还有计算第 k / 2 小的数和第 (k - 1) / 2 小的数的平均值时。
我是使用 (a / 2.0) + (b / 2.0) 的形式，而不是采用 (a + b) / 2.0 的形式。后者有相加溢出的风险。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.* 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
由于 LeetCode 的题目随着周赛 & 双周赛不断增加，为了方便我们统计进度，我们将按照系列起始时的总题数作为分母，完成的题目作为分子，进行进度计算。当前进度为 */1916 。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我在 Github 建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和一些其他的优选题解。
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