【刷穿 LeetCode】45. 跳跃游戏 II（困难）

题目描述

给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。

数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。

你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。

示例:

输入: [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
     从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。

说明:

• 假设你总是可以到达数组的最后一个位置。

BFS 解法

其实对于这一类问题，我们一般都是用使用 BFS 进行求解。

但本题的 BFS 解法的复杂度是

，题目没有给出数据范围，不确定是否会超时。

PS. 事实上 BFS 会超时 ~

代码：

class Solution {
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int ans = 0;
        boolean[] st = new boolean[n];
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        d.addLast(0);
        st[0] = true;
        while (!d.isEmpty()) {
            int size = d.size();
            while (size-- > 0) {
                int idx = d.pollFirst();
                if (idx == n - 1) return ans;
                for (int i = idx + 1; i <= idx + nums[idx] && i < n; i++) {
                    if (!st[i]) {
                        st[i] = true;
                        d.addLast(i);
                    }
                }
            }
            ans++;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：如果每个点跳跃的距离足够长的话，每次都会将当前点「后面的所有点」进行循环入队操作（由于 st 的存在，不一定都能入队，但是每个点都需要被循环一下）。复杂度为

。

• 空间复杂度：队列中最多有 n - 1 个元素。复杂度为

。

双指针 + 贪心 + 动态规划解法

的解法过不了，往下优化就是

的做法了，而且结合数据范围，可以大概猜到是道 DP 题。

我们定义 f(i) 为到达第 i 个位置所需要的最少步数，那么答案是 f(n - 1)。

PS. 这里的状态定义我是猜的，这其实是个技巧。通常我们做 DP 题，都是先猜一个定义，然后看看这个定义是否能分析出状态转移方程帮助我们不重不漏的枚举所有的方案。一般我是直接根据答案来猜定义，这里是求最小步数，所以我猜一个 f(i) 代表至少步数。

那么 f(n - 1) 该怎么求呢？

我们知道最后一个点前面可能会有很多个点能够一步到达最后一个点：

也就是有

。

然后我们再来考虑集合

有何特性。

不然发现其实必然有

。

推而广之，不止是经过一步能够到达最后一个点的集合，其实任意连续的区间都有这个性质。

举个?，比如我经过至少 5 步到达第 i 个点，那么必然不可能出现使用步数少于 5 步就能达到第 i + 1 个点的情况。到达第 i + 1 个点的至少步数必然是 5 步或者 6 步 ~

搞清楚性质之后，再回头看我们的状态定义：f(i) 为到达第 i 个位置所需要的最少步数。

因此当我们要求某一个 f[i] 的时候，我们需要找到最早能够经过一步到达 i 点的 j 点。

即有状态转移方程：

。

也就是我们每次都贪心的取离 i 点最远的点 j 来更新 f(i)。

而这个找 j 的过程可以使用双指针来找。

所以说这个思路其实是一个「双指针 + 贪心 + 动态规划」的一个解法：

class Solution {
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] f = new int[n]; 
        for (int i = 1, j = 0; i < n; i++) {
            while (j + nums[j] < i) j++;
            f[i] = f[j] + 1;
        }
        return f[n - 1];
    }
}

• 时间复杂度：每个位置最多被扫描两次（同时被 i 和 j 经过），复杂度为

。

• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.45 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

由于 LeetCode 的题目随着周赛 & 双周赛不断增加，为了方便我们统计进度，我们将按照系列起始时的总题数作为分母，完成的题目作为分子，进行进度计算。当前进度为 45/1916 。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我在 Github 建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和一些其他的优选题解。