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算法读书笔记(1)-时间、空间复杂度分析

时间、空间复杂度分析

为什么需要复杂度分析?

  1. 测试结果非常依赖测试环境
  2. 测试结果受数据规模的影响很大

需要一个不用具体的测试数据来测试,就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。

大O复杂度表示法

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势, 所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度。

时间复杂度分析

1.只关注循环执行次数最多的一段代码

大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了

我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了

  1. 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

  1. 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

具体的代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环

几种常见时间复杂度实例分析

多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2n) 和 O(n!)。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP(Non-Deterministic Polynomial,非确定多项式)问题。

当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。 所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此,关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。

O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。

int i = 8; 
int j = 6; 
int sum = i + j;

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。

一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。

O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度

i=1; 
while (i <= n) { 
    i = i * 2; 
}

变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。2的x次方=n 变量 i 的取值就是一个等比数列, x=log2n,

是 O(log2n)。

换底公式:因为log3n 就等于 log32 * log2n,所以 O(log3n) = O(C * log2n),其中 C=log32 是一个常量

在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))

在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。

如果你理解了我前面讲的 O(logn),那 O(nlogn) 就很容易理解了。 还记得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了

O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

O(m+n)、O(m*n)

代码的复杂度由两个数据的规模来决定

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大, 所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。 所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。 类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略 第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

总结:

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系, 可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。 常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

  • 最好情况时间复杂度(best case time complexity)
  • 最坏情况时间复杂度(worst case time complexity)
  • 平均情况时间复杂度(average case time complexity)
  • 均摊时间复杂度(amortized time complexity)

最好、最坏情况时间复杂度

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

这段代码的复杂度是 O(n),其中,n 代表数组的长度。

优化一下

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

优化完之后,这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗?

要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x, 那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了,那时间复杂度就是 O(1)。 但如果数组中不存在变量 x,那我们就需要把整个数组都遍历一遍,时间复杂度就成了 O(n)。

为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度,我们需要引入三个概念:最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。

最好情况时间复杂度就是,在最理想的情况下,执行这段代码的时间复杂度

最坏情况时间复杂度就是,在最糟糕的情况下,执行这段代码的时间复杂度。

平均情况时间复杂度

最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度,发生的概率其实并不大。

要查找的变量 x 在数组中的位置,有 n+1 种情况:在数组的 0~n-1 位置中和不在数组中。

我们把每种情况下,查找需要遍历的元素个数累加起来,然后再除以 n+1,就可以得到需要遍历的元素个数的平均值

(1+2+3...+n+n)/(n+1) = n*(n+3)/2*(n+1)

时间复杂度的大 O 标记法中,可以省略掉系数、低阶、常量,所以,咱们把刚刚这个公式简化之后,得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

这个结论虽然是正确的,但是计算过程稍微有点儿问题。究竟是什么问题呢?我们刚讲的这 n+1 种情况,出现的概率并不是一样的

为了方便你理解,我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。要查找的数据出现在 0~n-1 这 n 个位置的概率也是一样的,为 1/n。 根据概率乘法法则,要查找的数据出现在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

因此,前面的推导过程中存在的最大问题就是,没有将各种情况发生的概率考虑进去。

1*(1/2n) + 2*(1/2n)... n*(1/2n) + n*(1/2) = (3n+1)/4

这个值就是概率论中的加权平均值,也叫作期望值,所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度

引入概率之后,前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示,去掉系数和常量,这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

实际上,在大多数情况下,我们并不需要区分最好、最坏、平均情况时间复杂度三种情况。 我们使用一个复杂度就可以满足需求了。只有同一块代码在不同的情况下,时间复杂度有量级的差距,我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。

均摊时间复杂度

对应的分析方法,摊还分析(或者叫平摊分析)

大部分情况下,我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。 平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到,而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

 // array表示一个长度为n的数组
 // 代码中的array.length就等于n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }

    array[count] = val;
    ++count;
 }

这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后, 也就是代码中的 count == array.length 时,我们用 for 循环遍历数组求和, 并清空数组,将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置,然后再将新的数据插入。 但如果数组一开始就有空闲空间,则直接将数据插入数组。

数组中有空闲空间,我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了, 所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下,数组中没有空闲空间了, 我们需要先做一次数组的遍历求和,然后再将数据插入,所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。 那平均时间复杂度是多少呢?答案是 O(1)。

假设数组的长度是 n,根据数据插入的位置的不同,我们可以分为 n 种情况, 每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外,还有一种“额外”的情况,就是在数组没有空闲空间时插入一个数据, 这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且,这 n+1 种情况发生的概率一样,都是 1/(n+1)。

1*(1/n+1)+1*(1/n+1)...+n*(1/n+1)=O(1)

但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂,不需要引入概率论的知识。

首先,find() 函数在极端情况下,复杂度才为 O(1)。 但 insert() 在大部分情况下,时间复杂度都为 O(1)。 只有个别情况下,复杂度才比较高,为 O(n)。 这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说, O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入, 出现的频率是非常有规律的,而且有一定的前后时序关系, 一般都是一个 O(n) 插入之后,紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作,循环往复。

针对这种特殊的场景,我们引入了一种更加简单的分析方法:摊还分析法,通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字,叫均摊时间复杂度。

每一次 O(n) 的插入操作,都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作,所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上,均摊下来,这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路

对一个数据结构进行一组连续操作中,大部分情况下时间复杂度都很低,只有个别情况下时间复杂度比较高, 而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系,这个时候, 我们就可以将这一组操作放在一块儿分析,看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时, 平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且,在能够应用均摊时间复杂度分析的场合, 一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度

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