浅析傅里叶分析

傅里叶分析的起源

傅里叶是一位法国数学家和物理学家，他在1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表，而后在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 那到底谁才是正确的呢？拉格朗日的观点是：正弦曲线无法组成一个带有棱角的信号。这是对的，但是，我们却可以用正弦信号来非常逼近地表示它，逼近到两种方法不存在能量差异，这样来理解的话，那傅里叶是正确的。

如何表示的？

傅里叶在这里所提出的，任何连续周期信号都可以用一组连续的正弦曲线组合而成，是怎么一个表示法呢，我们用一个例子来进行说明：

正弦信号叠加

从上图中，我们可以看出，a 图是一个正弦波，b 图是三个不同频率的正弦波叠加而成，c 图是由 7 个不同频率的正弦波叠加而成，d 图是由 19 个不同频率的正弦波叠加而成。从上图中可以看出，随着叠加的波形个数的增加，得到的波形愈来愈接近一个方波。 到这里也很容易想明白，明明是正弦波，叠加起来却趋近成一个方波，随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。那需要多少个这样的波形呢？答案也是显然的，需要无穷个。 下面是一个更加直观的图：

在这里插入图片描述

在有了上述的直观理解之后，我们再来观察傅里叶级数的展开式，

可以看到 f(t) 可以分解成各个频率的正弦信号的叠加，最开始的 a0 可以看成是一个直流分量的叠加。

有何意义

再明白了任意一个周期信号都可以由一组适当的正弦信号组成之后，我们来看一下这样做的意义又是如何呢？这里就要引入频域的概念。 我们在生活中能够感受到的是万事万物都在随着时间发生改变，但是很多情况下，如果从时间的尺度去观察，不能看出什么比较显著的特征，这个时候，就需要从频域的尺度去观察。 在这里，笔者仍旧以方波为例进行分析，下图是方波分解得到的一系列的正弦信号，以及图片中所展示的，频域图像和时域图像。

图片来源于网络，侵删

我们通过上图可以看到频域图像是由方波所得到的一系列的正弦信号的幅值在对应的频率点上的投影，这样就构成了我们的频域图像。也就是说我们通过傅里叶变换将原信号进行分解，然后将分解出的信号的幅值投影在其所对应的频率点处，从而使得我们能够从频域的角度去分析和处理信号，其中最为普遍的一个应用就是在得到的原始信号的频域图后，我们就可以对信号进行滤波，去除我们所不需要的频率成分。下图是一个关于傅里叶变换的动图展示，能够方便我们更好地理解.

傅里叶变换

傅里叶级数和傅里叶变换的关系

我们在接触到傅里叶分析信号的时候，会涉及到两个概念，一个就是傅里叶级数，一个就是傅里叶变换，那两者之间的关系是什么呢？对于傅里叶级数来讲，它是针对于周期信号的，但是不能够处理非周期的信号，而傅里叶变换就可以处理非周期的信号。 下图展示了这样一个区别：

傅里叶级数和傅里叶变换

我们可以看到 （a）和 （b）就是针对于周期信号而言的，它通过傅里叶级数的方式将图像变换到频域，并且由图像可以看出周期信号变换得到的频域图像是离散的，但是针对于 （c）图来说，信号是非周期的，针对于非周期信号的处理方式需要使用傅里叶变换来进行处理，他的频域图像是连续的。进一步来进行分析，a -> b -> c 的原始信号的周期可以看成是依次增大的一个过程，非周期信号的周期可以看成是无穷大，周期越大，频率也就越小，那么对应于频域谱的谱线之间的距离就越近，周期无穷大，那么频域也就变成连续的了。

总结

针对于傅里叶分析来说，笔者上述所分享的内容都没有对应的计算说明，只是通过图进行直观地阐述，虽然理解起来更加直观了，但是，如果要达到对于傅里叶分析的深刻理解，仍然要进行数学推导，从数学层面去深刻理解，才能达到对于这个知识的熟练运用。