高等数学整理极限

极限

极限的定义：在自变量的同一变化过程x -> x0 或x -> ∞中，函数f(x)具有极限A的充要条件是f(x) = A + å，其中å是无穷小。

如何理解同一变化过程。

这里只有当x无限趋近于无穷大时，å的极限才为0，若x无限趋近于1的时候，很明显，å的极限就不为0

无穷大

设函数f(x)在点x0点某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M(无论它多么大)，总存在正数∂(或正数X)，只要x满足不等式0 < |x - x0| < ∂(或|x| > X)时，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)| > M，那么函数f(x)是当x -> x0(或x -> ∞)时的无穷大。

无穷大指的是函数值的无穷大。无穷大不是一个具体的数，根据极限定义，函数值趋近于无穷大时极限值是不存在的，但是为了表述函数的这一性态，通常也会说函数的极限是无穷大，记为

或

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么

为无穷小。如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么

为无穷大。

判断极限是否存在

上图是

的图像，它是一个没有间断点，连续的曲线，它是一个基本初等函数，实际上所有的基本初等函数在定义域内都是连续的，所有的连续函数，都是有极限的。

的极限就是1.基本初等函数包含幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五种函数。而初等函数是这些基本初等函数进行有限次四则运算和有限次的函数复合所构成的函数，称为基本函数。

这个函数的图像变化如下所示

由于它并不是一个连续的函数，所以它不存在极限

的函数图像如下

这里x -> ∞，它总是一个周期性变化的图像，所以它不存在极限值；但是如果这里x -> 3，则存在一个极限值,就是sin3。

的函数图像如下

由于它也是不连续的函数，所以它不存在极限。