动态规划：判断子序列

392.判断子序列

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/is-subsequence/

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

示例 1： 输入：s = "abc", t = "ahbgdc" 输出：true

示例 2： 输入：s = "axc", t = "ahbgdc" 输出：false

提示：

• 0 <= s.length <= 100
• 0 <= t.length <= 10^4

两个字符串都只由小写字符组成。

思路

这道题应该算是编辑距离的入门题目，因为从题意中我们也可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。

所以掌握本题也是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础。

动态规划五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

有同学问了，为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？

用i来表示也可以！

但我统一以下标i-1为结尾的字符串来计算，这样在下面的递归公式中会容易理解一些，如果还有疑惑，可以继续往下看。

1. 确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

• if (s[i - 1] == t[j - 1])
  • t中找到了一个字符在s中也出现了
• if (s[i - 1] != t[j - 1])
  • 相当于t要删除元素，继续匹配

if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义）

if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。

这里大家已经可以发现，在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：

如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。

这里dp[i][0]和dp[0][j]是没有含义的，仅仅是为了给递推公式做前期铺垫，所以初始化为0。

其实这里只初始化dp[0][j]就够了，但一起初始化也方便，所以就一起操作了，代码如下：

vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));

1. 确定遍历顺序

同理从从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

如图所示：

1. 举例推导dp数组

以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：

dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。

图中dp[s.size()][t.size()] = 3， 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。

动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

• 时间复杂度：O(n * m)
• 空间复杂度：O(n * m)

总结

这道题目算是编辑距离的入门题目（毕竟这里只是涉及到减法），也是动态规划解决的经典题型。

这一类题都是题目读上去感觉很复杂，模拟一下也发现很复杂，用动规分析完了也感觉很复杂，但是最终代码却很简短。

编辑距离的题目最能体现出动规精髓和巧妙之处，大家可以好好体会一下。

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