【面试高频系列】从一道经典题分享「二分模板」&「倍增乘法」...
【面试高频系列】从一道经典题分享「二分模板」&「倍增乘法」...
题目描述
这是 LeetCode 上的「29. 两数相除」，难度为 Medium。
给定两个整数，被除数
和除数
。
将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。
返回被除数
除以除数
得到的商。
整数除法的结果应当截去（
）其小数部分。
例如：
以及
。
示例 1:
输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3
示例 2:
输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2
提示：
- 被除数和除数均为 32 位有符号整数。
- 除数不为 0。
- 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [
,
− 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回
− 1。
二分 + 倍增乘法
由于题目限定了我们不能使用乘法、除法和 mod 运算符。
我们可以先实现一个「倍增乘法」，然后利用对于
除以
，结果
必然落在范围
的规律进行二分：
代码：
class Solution {
public int divide(int a, int b) {
long x = a, y = b;
boolean isNeg = false;
if ((x > 0 && y < 0) || (x < 0 && y > 0)) isNeg = true;
if (x < 0) x = -x;
if (y < 0) y = -y;
long l = 0, r = x;
while (l < r) {
long mid = l + r + 1 >> 1;
if (mul(mid, y) <= x) {
l = mid;
} else {
r = mid - 1;
}
}
long ans = isNeg ? -l : l;
if (ans > Integer.MAX_VALUE || ans < Integer.MIN_VALUE) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
return (int)ans;
}
long mul(long a, long k) {
long ans = 0;
while (k > 0) {
if ((k & 1) == 1) ans += a;
k >>= 1;
a += a;
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：对
采用的是二分策略。复杂度为
- 空间复杂度：
总结
这道题的解法，主要涉及的模板有两个。
一个是「二分」模板，一个是「快速乘法」模板。都是高频使用的模板。
其中「二分」模板其实有两套，主要是根据
函数为
时，需要调整的是 l 指针还是 r 指针来判断。
- 当
调整的是 l 时：计算 mid 的方式应该为 mid = l + r + 1 >> 1：
long l = 0, r = 1000009;
while (l < r) {
long mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) {
l = mid;
} else {
r = mid - 1;
}
}
- 当
调整的是 r 时：计算 mid 的方式应该为 mid = l + r >> 1：
long l = 0, r = 1000009;
while (l < r) {
long mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
另外一个是「快速乘法」模板，采用了倍增的思想：
long mul(long a, long k) {
long ans = 0;
while (k > 0) {
if ((k & 1) == 1) ans += a;
k >>= 1;
a += a;
}
return ans;
}
使用 long 的说明
我知道肯定会有小伙伴提醒三叶：环境只能存储 32 位有符号整数，这一提示。
我认为这个提示有两层理解含义：
- 实现过程中完全不能使用 long
- 实现过程不限制使用 long，只是解释为什么某些情况下需要我们返回
− 1
在本题，我是按照第二种解释方式进行理解。
当然也可以按照第一种解释方式进行理解，在 7. 整数反转(简单) 中，我就提供了实现过程中不使用 long 的「完美解决」方案。可以看看 ~
不使用 long 其实十分简单，只需要将越界判断放到循环里即可，建议你动手试试 ~
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.29 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。