高等数学整理(二)

接高等数学整理

多元复合函数求导法则

多元复合函数是用在bp神经网络或者叫做神经网络的bp算法当中。深度学习是基于深度神经网络的。多元复合函数在神经网络算法当中有很大的用处。习惯性当中，把多元复合函数求导法则称为链式法则。

多元函数全增量

全增量为

△z=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)

=f(x0+△x，y0+△y)-f(x0+△x，y0)

+f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)

=fy'(x0+△x，ξ1)·△y+fx'(ξ2，y0)·△x

【其中ξ1在y0与y0+△y之间，

ξ2在x0与x0+△x之间】

然后利用一阶偏导数的连续性，

【ξ1→y0，ξ2→x0】

fy'(x0+△x，ξ1)=fy'(x0，y0)+α

fx'(ξ2，y0)=fx'(x0，y0)+β

【其中，α，β是无穷小】

从而，

△z=fy'(x0，y0)△x+fx'(x0，y0)△y

+α△x+β△y

其中，α△x+β△y=o(ρ)

全增量等于两个偏增量的和。

• 一元函数与多元函数复合

若函数u=å(t)及v=ß(t)都在t点可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=få(t),ß(t)在点t可导，且

证明：设t获得增量

，此时u=å(t)、v=ß(t)的对应增量为

、

函数的全增量

当

->0，

->0时，

->0，

->0

等式两边同时除以

则

• 多元函数与多元函数复合

如果函数u=å(x,y),v=ß(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=få(x,y),ß(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，且有

证明的过程跟一元函数跟多元函数复合一样，只不过求对x的偏导的时候把y看成常数，求对y的偏导的时候把x看成常数。

类似的，设u=å(x,y),v=ß(x,y)及w=

(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数z=f[å(x,y),ß(x,y),

(x,y)]在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：

如果函数u=å(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数v=ß(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=få(x,y),ß(y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，且有

设z=f(u,x,y)具有连续偏导数，u=å(x,y)具有偏导数，则复合函数z=få(x,y),x,y具有对自变量x及y的偏导数，且有

多元复合函数求导法则示例

• 设

，求

和

令u=x+y,v=xy,则

隐函数求导公式

隐函数：一般地，如果变量x和y满足一个方程g(x,y)=0，在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程g(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。

例如

这里y=3√(2-x)，所以当x取任意值时，y的值唯一，所以这里确定了一个隐函数。大致图形如下

，这个方程能否确定一个隐函数，它的图形大致如下

由图形可知，在(0,1)范围内随意取一个x值，y的值不唯一，所以这个方程不能确定一个隐函数。

在点(0,1)的某个邻域内存在隐函数吗？

我们上面一题中其实是从一元函数的角度来看待的，而这里其实是从二元函数的角度来看待的，(0,1)这个点就是A点，A点点邻域内，它是可以存在隐函数的，只要这个邻域不过大。

隐函数求导公式：设函数g(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，且g(x,y)=0,

,则方程g(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续导数的函数y=f(x)，他满足条件y0=f(x0)，并有

，同时也被称为隐函数存在定理1。

证明：将y=f(x)代入g(x,y)=0得恒等式g(x,f(x))

0，左端看作是x的一个复合函数，两端求导得

，将其变型后就可得

设函数g(x,y,z)在点

的某一邻域内具有连续偏导数，且

，则方程g(x,y,z)=0在点

的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件

，并有

，同时也被称为隐函数存在定理2。

隐函数求导公式示例

验证方程

在点(0,1)的某一个邻域内能唯一确定一个有连续导数，当x=0,y=1时的隐函数y=f(x)，并求这函数的一阶导数在x=0的值。

设

，则

根据隐函数存在定理1，可以确定隐函数y=f(x)存在，且一阶导数x=0的值为0