有哪些不定积分的运算（心算）技巧？[1]

全部来源于知乎，一些积分的小技巧

作者：谁知道
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计算不定积分实际上就是根据导函数找原函数。求导的计算方法有一定的套路，对于任给的初等函数都套这些求导法则都可以找到导函数。但是不定积分不然。不定积分的两种运算律——换元积分法和分部积分法——都只是告诉你你可以怎么算，但是并没说这么算一定能算出来。因此，不定积分的计算有十分强的技巧性。

遇到不定积分的时候要注意并不是所有的不定积分都能求出来，有的函数的原函数无法用初等函数的形式表示出来，因而相应的不定积分也就算不出来，比如

,

,

,

等。但一般在练习题和考试题见到的不定积分都是能算的，即便是遇到不能算的积分，题目也会有其他做法让你不计算不定积分也能做出来。

在学不定积分的时候，有一位老师曾教过我三句话：背好口诀表，用好运算律，总结计算方法。如果说不定积分有什么计算的套路，应该就是这三句话了。

若要想熟练计算不定积分，先熟练背诵并应用基本的不定积分的积分表是基础，积分表不光应包括由常见微分公式导出的那些，还应包括常见的不能直接求出来的一些函数的积分公式。积分公式背得多，做不定积分的时候被积函数转化成熟悉的函数就更容易一些，遇到熟悉的形式就可以直接写出答案，而不用现推了。

二、不定积分的运算律要灵活运用，尤其是换元积分法。在简单的情况下，可以直接把d()当成一个筐子，直接把数放进里边就是了，然后再在前面添系数（即凑微分，比如

)，至于怎么放，一切为计算服务。分部积分法要想用好，需要记住

这个公式。相比于

,它的意义更鲜明一些，并且用的时候会帮你减少一些盲目性。

做不定积分的时候，你会发现很多题目的思路都是类似的，这些思路就是需要你去总结的，比如遇见三角函数，往往需要使用三角函数本身的公式来转化；见到根式，就需要用换元法来脱根号；在用换元积分法没有思路的时候，试试分部积分法可能就做出来了。

除了上面所说的方法，计算不定积分还需要多练习，这样才能积累经验，更快地找到解题方法。

下面介绍几种类型的不定积分的计算方法。

一、凑微分类型

如果f(x)容易积分，那么

类型的不定积分需要用凑微分法做，但做之前需要能识别出这种类型的积分，识别出这种积分做出来也就不难了。识别这种积分的关键就在于熟练掌握各种基本的积分，即上面第一点所说的。

二、分部积分类型

处理不定积分不能只想着换元法，有时也需要用分部积分法。

（一）如果对某些式子的其中一部分积分，对另一部分求导，对所得的新的式子求不定积分会变得比原来更简单，那么这种情况就可以使用分部积分法，例如

。

（二）有一些式子求导的结果有一定周期性，如

、sinx、coshx等。当所求的不定积分含有这些因子时，可以考虑使用分部积分法。需要说明的是在处理这种题目时，计算的某一步中又会出现最初所要求的那个积分，这时应将这一步所得结果和第一步等式之前的式子看做一个方程，通过解方程的方式解出所要求的不定积分结果。当被积表达式含有正整数次幂时，这样做得到的可能不是方程，而是一个递推公式，进而得到要求的积分。

三、只含三角函数的分式

处理这种问题的方法是先利用三角函数的公式降幂，使用万能公式将各种三角函数统一为“

”再将其换元，转化为普通的多项式做分子分母的分式的情况。注意转化时要化成同角的三角函数。

但在这些题中，

这种类型的积分可以用更简单的方法处理。取合适的系数使Asinx+Bcosx=p(Csinx+Dcosx)+q(-Dsinx+Ccosx)，，从而将原积分化为便于计算的

和

两部分。

三、正弦余弦高次幂

计算三角函数的积分常常使用三角函数本身的一些公式来化简，最常用的是二倍角公式和和差角公式，但在这里由于幂次较高，用这些公式显然很不方便。为了将正弦余弦的高次幂化为一次，可以使用欧拉公式和二项式定理

（欧拉公式及其推论）

四、有理分式

（一）、分母的次数高于分子的次数

1、分子为常数，分母为Δ<0的二次多项式的k次方

处理这种问题的思路是将二次多项式配方，转化为

的形式，再用x=tant换元求出结果

2、分子有一次项和常数，分母是Δ<0的二次多项式的k次方

解决这种类型的积分的思路是把被积函数分成两部分，一部分利用凑微分法

来来做，另一部分使用分子是常数，分母为二次多项式的方法处理。拆的过程可以使用多项式长除法，用分子除以2ax+b。

3、分母为大于二次的多项式

三次及以上的多项式都能因式分解。处理这种问题时首先用待定系数法、赋值法等方法将原来的有理分式分解成部分分式裂项，再对每一项分别积分。当分母比分子高一次时，可以先把用分母的导数除分子，分离出一个可凑微分的部分，再将剩下的部分用上面的方法分解成部分分式处理。

（二）、分母的次数不高于分子的次数

遇到分母的次数不高于分子的次数的情况是需要使用多项式长除法转化为分母次数高于分子次数的情况。

五、只含三角函数的分式

处理这种问题的方法是先利用三角函数的公式降幂，使用万能公式将各种三角函数统一为“

”，再将其换元，转化为普通的多项式做分子分母的分式的情况。注意转化时要化成同角的三角函数

但是在这些题中，

类型的积分有一种相对简单的处理方法。取合适的系数使Asinx+Bcosx=p(Csinx+Dcosx)+q(-Dsinx+Ccosx)，从而将原来的积分转化为容易求的

和

两部分

六、含有根号的式子

（一）、根号内只有一次项（和常数项）的二次根式

处理这种问题可以将根号整体换元来脱根号

（二）、根号内只有二次项和常数项的二次根式

这样的式子一般运用第二类换元积分法来脱根号。换元时可以换成三角函数或双曲三角函数（主要是双曲正弦和双曲余弦）。

（三）、根式内为一般二次多项式的二次根式

处理这种问题，需要将根式内配方化为根号内只有二次项和常数项的情况，也可以使用欧拉代换。欧拉代换是解决这种类型问题的通法，但使用这种方法也需要提前做好要做大量运算的心理准备。

（四）根号内为一次齐次分式的根式

将根号整体换元来脱根号，这种方法对大部分含有

的积分都适用。有些积分没有直接给出这样的形式，需要往这个方向凑。

七、其它

不定积分有很多种，因此也难以将他们的解题方法全部归纳出来。一般的不定积分，其计算方法往往是由其特征决定的，根据其特征，根据以往的处理类似积分的经验，就可以去尝试相应的方法。注意这里只能说是尝试，并不保证一定能做出来，因为有些积分形式相似却不一定有相似的处理方法。下面列举了一些不定积分可以尝试的方向。

当被积的分式分母次数减分子次数之差大于1时，也可以尝试倒代换（即设

）

当被积表达式中含有对数、指数、反三角函数时，可以将其设为新的变量，也可以尝试分部积分法。

当被积表达式同时含有sinxcosx和sinx+cosx时，可以利用将它们统一起来。

当被积表达式含有

时（尤其是a=1,b=0的时候），可以尝试设ax+b=tant

参考资料：
欧拉代换的简单介绍
华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社2010，196-198页
胡志兴，郑连存，苏永美，孟艳等.高等数学，北京：高等教育出版社，2014.292页