广义积分

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

简述

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

几何意义

反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。

例如

的几何意义是：位于曲线

之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽使

无穷，但面积可求。

类型

1.无穷区间反常积分

每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。

2.无界函数反常积分

即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。

（f(b)无界）

（f(a)无界）

（区间内点f(c)无界）

3.混合反常积分

对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。 [2]

敛散性判断

编辑

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限

而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数

而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

一些直觉上的广义积分

1.广义积分到底是何物？

还记得定积分的相关定义吗？定积分的两个重要前提要求是闭区间和函数有界，而广义积分正是在闭区间和函数有界的基础上，放宽约束条件从而延申出来的概念，所以可以认为广义积分是特殊的定积分，但是一定要切记，广义积分不是定积分。

如果放宽闭区间约束，即一个定积分的上限或者下限趋于无穷大，则称此积分为无穷区间上的广义积分。

如果放宽函数有界的约束，即被积函数无界，则称此积分为无界函数的广义积分，亦可称为瑕积分。

2.广义积分有几何意义吗？

广义积分是从定积分基础上拓展出来，其几何意义与定积分几何意义一样，都是描述一块区域的面积，但是与定积分不同的是：广义积分描述的区域不是闭合区域，而是一个开放的、至少有一边是无界的区域。

不知道大家有没有想过为什么广义积分至少有一边是无界的区域，有些广义积分却是收敛的，也就是说为什么这块非闭合的区域面积不是无穷大呢？小编举个例子解释下，现在有个矩形，一条边长4m，一条边长1米，现在4m长的边逐渐增大到无穷大，而1m长的边同时逐渐缩小到0，那么这个矩形面积到底是多少呢？答案取决与长边和短边的增幅和减幅的速度，也就是说矩形面积是取决于两个边的情况。

还记得芝诺悖论吗？芝诺悖论说得是，一个人从A点走到B点，需经过AB的中点，在到达AB中点C，又要经过AC中点D……结果是这个人一直在原地，无法向前前进一点。这个悖论其实是将点的无穷与时间无穷等价看待，明显不对。这同广义积分敛散性一样，大家不能把边的无穷与面积的无穷等价看待。