Julia(复数和有理数）
复数和有理数
Julia附带了预定义的类型，表示复数和有理数，并支持所有标准数学运算和基本函数。定义了“ 转换”和“提升”，以便对预定义数字类型（原始的或复合的）的任何组合执行的操作均符合预期。
复数
全局常数im绑定到复数i，代表-1的主平方根。i为全局常量选择名称被认为是有害的，因为它是一个如此流行的索引变量名称。由于Julia允许将数字文字与标识符作为系数并置，因此该绑定足以为复数提供方便的语法，类似于传统的数学符号：
julia> 1 + 2im
1 + 2im您可以使用复数执行所有标准算术运算：
julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im
julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im
julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im
julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im
julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im
julia> (-1 + 2im)^2.5
2.7296244647840084 - 6.960664459571898im
julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im
julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im
julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im
julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413796 + 0.5172413793103449im提升机制确保不同类型的操作数的组合可以正常工作：
julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im
julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im
julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im
julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im
julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im
julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im
julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im
julia> 2im^2
-2 + 0im
julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im注意3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im)，因为文字系数比除法绑定更紧密。
提供了用于处理复杂值的标准函数：
julia> z = 1 + 2im
1 + 2im
julia> real(1 + 2im) # real part of z
1
julia> imag(1 + 2im) # imaginary part of z
2
julia> conj(1 + 2im) # complex conjugate of z
1 - 2im
julia> abs(1 + 2im) # absolute value of z
2.23606797749979
julia> abs2(1 + 2im) # squared absolute value
5
julia> angle(1 + 2im) # phase angle in radians
1.1071487177940904通常，abs()复数的绝对值（）是它到零的距离。abs2()给出绝对值的平方，特别适用于避免求平方根的复数。angle()返回弧度的相角（也称为自变量或arg函数）。还为复数定义了其他基本功能的全部数域：
julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im
julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im
julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991518im
julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im
julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im请注意，数学函数通常在应用于实数时返回实数值，而在应用于复数时返回复数值。例如，即使sqrt()应用于-1或，行为也不同：-1 + 0im-1 == -1 + 0im
julia> sqrt(-1)
ERROR: DomainError:
sqrt will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(complex(x)).
Stacktrace:
[1] sqrt(::Int64) at ./math.jl:434
julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im从变量构造复数时，文字数字系数符号不起作用。相反，必须明确写出乘法：
julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im但是，不建议这样做。改用complex()函数直接从其实部和虚部构造一个复杂值：
julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im这种结构避免了乘法和加法运算。
Inf并NaN通过特殊浮点值部分中所述的复数在复数的实部和虚部中传播：
julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im
julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im有理数
Julia具有一个有理数类型来表示整数的精确比例。使用//运算符构造有理数：
julia> 2//3
2//3如果有理数的分子和分母具有公因子，则将它们简化为最低项，以使分母为非负数：
julia> 6//9
2//3
julia> -4//8
-1//2
julia> 5//-15
-1//3
julia> -4//-12
1//3这种整数比率的标准化形式是唯一的，因此可以通过检查分子和分母的相等性来测试有理值的相等性。可以使用numerator()和denominator()函数提取有理值的标准分子和分母：
julia> numerator(2//3)
2
julia> denominator(2//3)
3通常不需要对分子和分母进行直接比较，因为标准算术和比较运算是针对有理值定义的：
julia> 2//3 == 6//9
true
julia> 2//3 == 9//27
false
julia> 3//7 < 1//2
true
julia> 3//4 > 2//3
true
julia> 2//4 + 1//6
2//3
julia> 5//12 - 1//4
1//6
julia> 5//8 * 3//12
5//32
julia> 6//5 / 10//7
21//25有理数可以很容易地转换为浮点数：
julia> float(3//4)
0.75转换，从理性到浮点方面的任何整数值以下的身份a和b与案件的例外a == 0和b == 0：
julia> a = 1; b = 2;
julia> isequal(float(a//b), a/b)
true构造无限有理值是可以接受的：
julia> 5//0
1//0
julia> -3//0
-1//0
julia> typeof(ans)
Rational{Int64}NaN但是，尝试构造一个合理的值不是：
julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[1] Rational{Int64}(::Int64, ::Int64) at ./rational.jl:13
[2] //(::Int64, ::Int64) at ./rational.jl:40像往常一样，升级系统使与其他数字类型的交互变得轻松：
julia> 3//5 + 1
8//5
julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998
julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im
julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im
julia> 3//2 / (1 + 2im)
3//10 - 3//5*im
julia> 1//2 + 2im
1//2 + 2//1*im
julia> 1 + 2//3im
1//1 - 2//3*im
julia> 0.5 == 1//2
true
julia> 0.33 == 1//3
false
julia> 0.33 < 1//3
true
julia> 1//3 - 0.33https://github.com/hyper0x/JuliaBasics
这书是一本翻译书，质量不错