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在传统的线性代数教材中，行列式占据重要地位，其原因可能在于历史发展顺序。历史上，数学家们先研究怎么用行列式解线性方程组，而后才提出了矩阵等概念。
现在，有数学家提出了不同观点，认为在现代的线性代数中，可以抛弃行列式，最典型代表就是参考文献[1]的作者，美国数学家Sheldon Axler，参考文献[1]就是他的这种思想的集中体现。
下面参考文献[2]，按照Sheldon Axler的思想，不用行列式，演示相关定理的证明。
设向量空间
\mathbb{V} 中的线性变换
\pmb{A} ，并
\pmb{X} \subseteq \mathbb{V} 是一个子空间，
\pmb{A(X)} 表示子空间向量经
\pmb{A} 映射后的像所成的集合，即
\pmb{A(X)}=\{\pmb{Ax}|\pmb{x}\in\pmb{X}\} 。
如果
\pmb{A(X)}\subseteq\pmb{X} ，则称
\pmb{X} 为线性变换
\pmb{A} 的一个不变子空间（invariant subspace）。
定理
定理1
对于
n\times n 矩阵
\pmb{A} ，若
\pmb{X}\subseteq \mathbb{C}^n 为
\pmb{A} 的一个不变子空间，且
\pmb{X}\ne\{\pmb{0}\} ，则存在非零特征向量
\pmb{x}\in\pmb{X} ，使得
\pmb{Ax}=\lambda\pmb{x} 。
证明
设
\dim{\mathbb{X}}=r,0\lt r \le n ，非零向量
\pmb{x}\in\mathbb{X} ，向量集
\{\pmb{x},\pmb{Ax},\pmb{A^2x},\cdots,\pmb{A^rx}\} 属于
\pmb{X} 且线性相关。
r 维子空间不可能有
r+1 个线性无关的向量。所以，存在不全为零的数
c_0,c_1,\cdots,c_r ，使得：
c_0\pmb{x}+c_1\pmb{Ax}+\cdots+c_r\pmb{A}^r\pmb{x}=\pmb{0}\tag{1.1}成立。
设系数中最大值是
c_s\ne0 ，显然
0\le s\le r ，则可以将
r 次多项式分解为：
c_0+c_1t+\cdots+c_rt^r=c_s(t-\mu_1)\cdots(t-\mu_s)\tag{1.2}其中
\mu_j\in\mathbb{C} 。
于是，（1.1）式的左侧多项式可以参考（1.2）式，分解为：
\pmb{0}=(c_0+c_1\pmb{A}+\cdots+c_r\pmb{A}^r)\pmb{x}=c_s(\pmb{A}-\mu_1\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\mu_s\pmb{I})\pmb{x} \tag{1.3}（1.3）式等号右边的乘法中，至少有一个
\mu_j 和向量
\pmb{v}\ne0 使得：
(\pmb{A}-\mu_j\pmb{I})\pmb{v}=\pmb{0}成立。
即
\pmb{A} 必定有一个特征向量
\pmb{v}\in\mathbb{X} 对应的特征值是
\mu_j 。
证毕。
定理2
对应相异特征值
\lambda_1,\cdots,\lambda_m 的特征向量
\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_m 组成一个线性无关的向量集合。
此定理在文献[3]中已经证明，并且没有使用行列式，下面的证明即来自文献[3]
证明1
设
\lambda_1,\cdots,\lambda_k 为相异特征值，
2\le k\le n ，对应特征向量集合
\{\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_k\} ，考虑：
c_1\pmb{x}_1+c_2\pmb{x}_2+\cdots+c_k\pmb{x}_k=\pmb{0}\tag{1.3}将（1.3）式等号两侧左乘
(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I}) ，并且
\pmb{Ax}_i=\lambda_i\pmb{x}_i,(1\le i\le k) ，得：
\begin{split}\pmb{0} &= (\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I})(c_1\pmb{x}_1+c_2\pmb{x}_2+\cdots+c_k\pmb{x}_k)\\&=c_1(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})\pmb{x}_1 \\&\quad+ c_2(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\pmb{x}_2\\&\quad+\cdots\\&\quad+c_k(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-1}\pmb{I})\pmb{x}_k\\&= c_k(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\pmb{A}-\lambda_{k-2}\pmb{I})(\lambda_k-\lambda_{k-1})\pmb{x}_k\\&=c_k(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_2\pmb{I})\cdots(\lambda_k-\lambda_{k-2})(\lambda_k-\lambda_{k-1})\pmb{x}_k\\&=\cdots\\&=c_k(\lambda_k-\lambda_1)(\lambda_k-\lambda_2)\cdots(\lambda_k-\lambda_{k-2})(\lambda_k-\lambda_{k-1})\pmb{x}_k\end{split}因为
\lambda_k\ne\lambda_i,1\le i \le{k-1} ，且
\pmb{x}_k\ne0 ，所以：
c_k=0 。
同理，可得：
c_{k-1}=\cdots=c_2=c_1=0 。
故
\{\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_k\} 是一个完整的线性无关集合。
证毕。
证明2（反证法）
设
\{\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_k\} 是线性相关集合，在不失一般性的原则下，设
\{\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_{p-1}\} 是最大的线性无关集，则：
\pmb{x}_p=c_1\pmb{x}_1+c_2\pmb{x}_2+\cdots+c_{p-1}\pmb{x}_{p-1} \tag{1.4}其中
c_1,\cdots,c_{p-1} 不全为零（因为
\pmb{x}_p\ne 0 ）。
（1.4）式等号两侧分别左乘
\pmb{A} ，可得：
\begin{split}\pmb{Ax}_p &= c_1\pmb{A}\pmb{x}_1+c_2\pmb{Ax}_2+\cdots+c_{p-1}\pmb{Ax}_{p-1}\\&=c_1\lambda_1\pmb{x}_1+c_2\lambda_2\pmb{x}_2+\cdots+c_{p-1}\lambda_{p-1}\pmb{x}_{p-1}\end{split}且：
\pmb{Ax}_p=\lambda_p\pmb{x}_p=c_1\lambda_p\pmb{x}_1+\cdots+c_{p-1}\lambda_p\pmb{x}_{p-1}以上两式相减：
c_1(\lambda_1-\lambda_p)\pmb{x}_1+\cdots+c_{p-1}(\lambda_{p-1}-\lambda_p)\pmb{x}_{p-1}=\pmb{0}因为
\{\pmb{x}_1,\cdots,\pmb{x}_{p-1}\} 是线性无关的向量集，且
\lambda_1,\cdots,\lambda_p 两两相异，所以：
c_i=0,(1\le i \le{p-1}) 。与（1.4）式假设中的系数矛盾。故假设不成立。
证毕。
定理3
对于
\pmb{Ax}=\lambda\pmb{x} 中的特征向量，为了跟下面的（1.5）式进行区分，称为一般特征向量。而下面所定义的：
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^k\pmb{x}=\pmb{0}\tag{1.5}\pmb{x}\ne0 为特征值
\lambda 对应的广义特征向量（generalized eigenvector），其中
k 是正整数。
广义特征向量所形成集合，以及零向量，也是
\mathbb{C}^n 的一个子空间，即
N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^k) ，称之为 广义特征空间 。具有如下性质：
若
\lambda 是
n 阶方阵
\pmb{A} 的一个特征值，以
k 为指数，则：
N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^k)=N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)证明
采用类似定理1的证明方法。
对线性组合：
c_0\pmb{x}+c_1(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})\pmb{x}+\cdots+c_{k-1}(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-1}\pmb{x}=0两侧同乘：
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-1} ，根据（1.5）可得：
c_0(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-1}\pmb{x}=\pmb{0}所以：
c_0=0 。
如果两侧同乘以
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{k-2} ，同理可得
c_1=0 。
最终得到
c_j=0,j=0,1,\cdots,k-1 。
证毕。
定理4
某一特征值
\lambda_j 对应的代数重数
\beta_j 为广义特征向量集所张成的子空间维数，即
\beta_j=\dim N((\pmb{A}-\lambda_j\pmb{I})^{n}) 。
向量空间
\mathbb{C}^n 可分为两个不相交的集合：广义特征空间
N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n}) 和值域
R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) 。
若
\lambda 为
n 阶方阵
\pmb{A} 的一个特征值，则：
N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n})\oplus R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n)=\mathbb{C}^n证明
由秩—零化度定理可知：
\dim N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n}) + \dim R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) = n设
\pmb{x}\in N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n}) \cap R((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) ，
则
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{x}=\pmb{0} 且存在
y 使得
\pmb{x}=(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{y} ，由此二式可得：
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{2n}\pmb{y}=\pmb{0}所以
\pmb{y}\in N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{2n}) 。
根据定理3，
N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{2n})=N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^{n}) ，所以：
\pmb{x}=(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{y}=\pmb{0}证毕。
定理5
所有广义特征向量可张成
\mathbb{C}^n 。
证明
将
\mathbb{C}^n 分解为广义特征空间
N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^{n}) 和值域
R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n) 。
\begin{split}\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n&=\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^{n-1}\\&=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^{n-1}\\&=\cdots\\&=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{A}\end{split}对任意
y\in R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n) ，
\pmb{y} 可写为
\pmb{y}=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{z} ，所以：
\pmb{Ay}=\pmb{A}(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{z}=(\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n\pmb{Az}即
\pmb{Ay}\in R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n) ，也就是说
R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n) 是
\pmb{A} 的一个不变子空间。
因为
\dim N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)\ge 1, \dim R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)\le n 。根据定理1，不变子空间必有一特征值，所以子空间
R((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n) 也可以分解为广义特征空间和另外一个不变子空间的直和。
继续按照上述方式分割不变子空间，直到整个
\mathbb{C}^n 都被分解为广义特征空间为止。
所以，广义特征向量足以张成
\mathbb{C}^n 。
定理6
子空间
N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) 仅有唯一特征值
\lambda 。
证明
对于非零向量
\pmb{x}\in N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) ，设
\lambda\ne\lambda' 且
\pmb{Ax}=\lambda\pmb{x} ，则：
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})\pmb{x}=(\lambda'-\lambda)\pmb{x}故：
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{x}=(\lambda'-\lambda)^n\pmb{x}但，已知
(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n\pmb{x}=\pmb{0}, \lambda'-\lambda\ne0 ，故
\pmb{x}=0 ，这与假设矛盾。所以：
\lambda=\lambda'证毕。
根据定理5，方阵
\pmb{A} 所有的广义特征向量可张成
\mathbb{C}^n ，而且对应相异特征值的广义特征向量是线性无关的，故
\mathbb{C}^n 可表示为所有特征向量空间的直和：
\mathbb{C}^n = N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)\oplus\cdots\oplus N((\pmb{A}-\lambda_m\pmb{I})^n)即：
n = \dim N((\pmb{A}-\lambda_1\pmb{I})^n)+\cdots+\dim N((\pmb{A}-\lambda_m\pmb{I})^n)又因为：
\beta_j = \dim N((\pmb{A}-\lambda_j\pmb{I})^n) ，所以：
n=\beta_1+\cdots+\beta_m 。
这说明特征值
\lambda_j 的代数重数是
\beta_j 。
因为
N(\pmb{A}-\lambda\pmb{I})\subseteq N((\pmb{A}-\lambda\pmb{I})^n) ，对应特征值
\lambda 的线性无关特征向量个数必定不大于线性无关的广义特征向量数。对应的几何重数就是线性无关的特征向量个数，而代数重数等于线性无关的广义特征向量重数。
故
\lambda_j 对应的几何重数不大于代数重数。
参考文献
[1]. Sheldon Axler. 线性代数应该这样学. 北京：人民邮电出版社
[2]. 线代启示录：拒绝行列式的特征分析
[3]. 机器学习数学基础：矩阵对角化
[4]. 机器学习数学基础：秩—零化度定理
《机器学习数学基础》一书即将由电子工业出版社出版，敬请关注本微信公众号，或者网站：https://qiwsir.gitee.io/mathmetics/，所发布的信息。
