关于马尔可夫链的一道题目

用户3577892

发布于 2021-04-21 10:31:21

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问题
解答
python模拟

问题

某人有 2 把伞，并在办公室和家之间往返．如果某天他在家中(办公室时)下雨而且家中(办公室)有伞他就带一把伞去上班(回家)，不下雨时他从不带伞．如果每天与以往独立地早上(晚上)下雨的概率为0.7，试求他被雨淋湿的机会．

解答

设

X_n

为

时刻持有的雨伞数量，则其状态量

S_n = \{0, 1, 2\}

。当下雨才用伞，每天下雨是独立事件，在此马尔可夫链中，用

表示状态量，当

大于0时，转移概率为

p_{i,3-i} = 0.7

(下雨从手边带一把伞走),

p_{i, 2-i}=0.3

(只是去了另一边，不带伞)，因此转移矩阵为：

\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0.3 & 0.7 \\ 0.3 & 0.7 & 0 \\ \end{bmatrix}

设平稳状态概率分别为

\pi_0, \pi_1, \pi_2

根据转移矩阵容易求得

\begin{aligned} \pi_0=\frac{3 }{ 23} \\ \pi_1=\frac{10 }{ 23} \\ \pi_2=\frac{10 }{ 23} \end{aligned}

淋雨的概率

则为

p=\pi_0 * 0.7 =\frac{21 }{ 230}

约等于 0.0913

python模拟

模拟这个人上班回家往返 n 次，那么出行次数是 2n 每次下雨的概率就是 0.7。设最开始伞都在家里，则出门的时候向是否下雨的状态问询，记录下淋雨的次数。

import random


# 试验往返次数
n = 1000000
# 设置随机抽样下雨 p=0.7 的环境样本
rain = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0] 
# 被淋雨的次数
get_wet = 0
# A点伞的数量
a_um = 2
# B点伞的数量
b_um =0
# 出门/回家
status = ['go', 'back']

for i in range(n):
    for s in status:
        if s == 'go':
            if random.choice(rain) == 1:
                if a_um > 0:
                    a_um -= 1
                    b_um += 1
                    get_wet += 0
                else:
                    get_wet += 1
            else:
                get_wet += 0
        else:
            if random.choice(rain) == 1:
                if b_um > 0:
                    b_um -= 1
                    a_um += 1
                    get_wet += 0
                else:
                    get_wet += 1
            else:
                get_wet += 0
print(get_wet/2/n)

0.09133

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原始发表：2021-03-31，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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