作者 | Indhumathy Chelliah 编译 | VK 来源 | Towards Data Science
中心极限定理
中心极限定理是推理统计中的一个重要概念.推理统计学是指从样本中对总体进行推断.
当我们从总体中抽取一个随机样本并计算其均值时,由于抽样波动,它很可能与总体均值不同.样本统计量和总体参数之间的变化称为抽样误差.
由于这种抽样误差,从样本统计数据中推断总体参数可能是困难的.中心极限定理是推理统计中的一个重要概念,它帮助我们从样本统计量中对总体参数进行推理.
让我们在这篇文章中详细学习中心极限定理.
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再突破!曹原新年首篇Nature
什么是统计和参数?
统计量→代表样本特征的值称为统计量.
参数→表示总体特征的值称为参数.(我们从总体统计数据中推断出的值)
统计量→样本标准差S,样本均值X
参数→总体标准差σ,总体均值μ
我们从统计量到参数进行推理.
抽样分布
抽样——从总体中抽取有代表性的样本.
抽样分布是指从总体中抽取的一个给定样本的所有可能值的分布.
抽样分布均值是指从总体中选取的给定样本容量样本均值的分布.
ms=(ms1+ms2+…msn)/n
n →样本大小.
现在我们算出了抽样均值的均值.接下来,我们必须计算抽样均值的标准差
标准差
样本均值在抽样分布中的可变程度是标准差.抽样分布的标准差称为均值的标准差.
均值标准差=总体标准差/sqrt(n)
n -样本大小
[随着样本量的增加,标准差减小.所以大样本有助于减少标准差]
抽样分布特性
当我们从总体中抽取许多随机样本时,这些变化就会抵消掉.抽样均值的均值等于总体均值
中心极限定理
中心极限定理指出,即使总体不是正态分布,抽样分布也会服从正态分布,前提是我们从总体中抽取足够大的样本.[对于大多数分布,n>30将给出一个接近正态的抽样分布]
抽样分布的性质也适用于中心极限定理。
置信区间
通过使用置信区间,我们可以说总体均值将处于某个范围内.
置信区间是总体参数可以取的值的范围.
总体均值置信区间=样本均值+(置信水平值)*均值标准差
Z→Z分数与置信程度相关.
最常用的置信水平
99%置信水平→Z得分= 2.58
95%置信水平→Z得分= 1.96
90%置信水平→Z得分=1.65
使用Python和Seaborn进行抽样分布
例子:
学生人数= 1000.
population1=np.random.randint(0,100,1000)
sns.distplot(population1,hist=False)
总体不是正态分布的.
sample_means1=[]
for i in range(0,25):
sample=np.random.choice(population1,size=20)
sample_means1.append(np.mean(sample))
sample_m1=np.array(sample_means1)
sns.distplot(sample_means1,hist=False)
plt.title(“Sampling distribution of sample mean”)
plt.axvline(sample_m1.mean(),color=’green’,linestyle=’ — ‘)
plt.xlabel(“Sample Mean”)
抽样分布接近正态分布
print (“Sampling mean: “,round(sample_m1.mean(),2))
print (“Standard Error: “,round(sample_m1.std(),2))
#Output:
Sampling mean: 47.96
Standard Error: 6.39
标准差= 6.39.我们增加样本容量,看看标准差是否下降.
sample_means2=[]
for i in range(0,100):
sample=np.random.choice(population1,size=50)
sample_means2.append(np.mean(sample))
sample_m2=np.array(sample_means2)
sns.distplot(sample_means2,hist=False)
plt.title(“Sampling distribution of sample mean”)
plt.axvline(sample_m2.mean(),color=’green’,linestyle=’ — ‘)
plt.xlabel(“Sample Mean”)
抽样分布现在是正态分布.
print (“Sampling mean: “,round(sample_m2.mean(),2))
print (“Standard Error: “,round(sample_m2.std(),2))
# Output:
Sampling mean: 48.17
Standard Error: 3.89
增大样本量后,标准差减小.现在标准差是3.89.
print (“Population Mean: “,round(population1.mean(),2))
#Output:
Population Mean: 48.03
抽样均值是48.17约等于总体均值48.03
Lower_limit=sample_m2.mean()- (2.58 * (sample_m2.std()))
print (round(Lower_limit,2))
#Output: 38.14
Upper_limit=sample_m2.mean()+ (2.58 * (sample_m2.std()))
print (round(Upper_limit),2)
#Output: 58.19
置信区间= 38.14 - 58.19
结论
在本文中,我介绍了中心极限定理、抽样分布、标准差和置信区间.