Leetcode No.62 不同路径

一、题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7 输出：28

示例 2： 输入：m = 3, n = 2 输出：3

解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3： 输入：m = 7, n = 3 输出：28

示例 4： 输入：m = 3, n = 3 输出：6

提示： 1 <= m, n <= 100 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

二、解题思路

我们用 f(i, j)表示从左上角走到 (i, j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0, m) 和 [0, n)。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i-1, j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i, j-1)走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i-1,j)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j-1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

由于f(0, j)只能一直向右移动到达，f(i, 0)只能一直向下移动达到，只有一条路径，因此我们将f(0, j)和f(i, 0)初始化为1。

最终的答案即为 f(m-1,n-1)。

三、代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp=new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++){
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[0][i]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
    
}

四、复杂度分析

时间复杂度：O(mn)。

空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到 f(i, j) 仅与第 i 行和第i−1 行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得 m≤n，这样空间复杂度降低至 O(min(m,n))。