向量范数与矩阵范数科普

向量范数

• 1-范数：\Vert \boldsymbol{x}\Vert_1=\sum\limits_{i=1}^N |x_i|，即向量元素绝对值之和
• 2-范数：\Vert \boldsymbol{x}\Vert_2=(\sum\limits_{i=1}^N (x_i)^2)^{\frac{1}{2}}，也叫欧几里得范数，常用于计算向量长度，即向量元素的平方和再开方
• \infty-范数：\Vert \boldsymbol{x}\Vert_{\infty}=\max\limits_{i} |x_i|，即所有向量元素中绝对值的最大值
• -\infty-范数：\Vert \boldsymbol{x}\Vert_{-\infty}=\min\limits_{i} |x_i|，即所有向量元素绝对值中的最小值
• P-范数：\Vert \boldsymbol{x}\Vert_p=(\sum\limits_{i=1}^N (x_i)^p)^{\frac{1}{p}}，即向量元素的p次方和再开p次方

矩阵范数

• 1-范数：\Vert A\Vert_1=\max\limits_{j}\sum\limits_{i=1}^m |a_{i,j}|，列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
• 2-范数：\Vert A\Vert_2=\sqrt{\lambda_1}，其中\lambda_1为A^{H}A的最大特征值，谱范数
• \infty-范数：\Vert A\Vert_{\infty}=\max\limits_{i}\sum\limits_{j=1}^n |a_{i,j}|，行和范数，即所有矩阵向量值之和的最大值
• F-范数：\Vert A\Vert_F=(\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n (a_{i,j})^2)^{\frac{1}{2}}，Frobenius范数，即矩阵元素的平方和再开平方

Reference

• 常见向量范数和矩阵范数