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向量范数与矩阵范数科普
向量范数与矩阵范数科普
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发布于 2021-05-20 14:55:59
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向量范数
1-范数:
\Vert \boldsymbol{x}\Vert_1=\sum\limits_{i=1}^N |x_i|
,即向量元素绝对值之和
2-范数:
\Vert \boldsymbol{x}\Vert_2=(\sum\limits_{i=1}^N (x_i)^2)^{\frac{1}{2}}
,也叫欧几里得范数,常用于计算向量长度,即向量元素的平方和再开方
\infty
-范数:
\Vert \boldsymbol{x}\Vert_{\infty}=\max\limits_{i} |x_i|
,即所有向量元素中绝对值的最大值
-\infty
-范数:
\Vert \boldsymbol{x}\Vert_{-\infty}=\min\limits_{i} |x_i|
,即所有向量元素绝对值中的最小值
P-范数:
\Vert \boldsymbol{x}\Vert_p=(\sum\limits_{i=1}^N (x_i)^p)^{\frac{1}{p}}
,即向量元素的p次方和再开p次方
矩阵范数
1-范数:
\Vert A\Vert_1=\max\limits_{j}\sum\limits_{i=1}^m |a_{i,j}|
,列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
2-范数:
\Vert A\Vert_2=\sqrt{\lambda_1}
,其中
\lambda_1
为
A^{H}A
的最大特征值,谱范数
\infty
-范数:
\Vert A\Vert_{\infty}=\max\limits_{i}\sum\limits_{j=1}^n |a_{i,j}|
,行和范数,即所有矩阵向量值之和的最大值
F-范数:
\Vert A\Vert_F=(\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n (a_{i,j})^2)^{\frac{1}{2}}
,Frobenius范数,即矩阵元素的平方和再开平方
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常见向量范数和矩阵范数
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