博采众长式的旋转位置编码

上一篇文章中，我们对原始的Sinusoidal位置编码做了较为详细的推导和理解，总的感觉是Sinusoidal位置编码是一种"想要成为相对位置编码的绝对位置编码"。

本文将会介绍追一科技自研Rotary Transformer（RoFormer）模型，它的主要改动是引用了苏剑林大佬构思的"旋转式位置编码（Rotary Position Embedding，RoPE）"，这是一种配合Attention机制能达到"绝对位置编码的方式实现相对位置编码的设计"。而也正因为这种设计，它还是目前唯一一种可用于线性Attention的相对位置编码

基本思路

我们假设通过下述运算来给\boldsymbol{q},\boldsymbol{k} 添加绝对位置信息：

也就是说，我们分别为\boldsymbol{q},\boldsymbol{k} 设计操作\boldsymbol{f}(\cdot, m),\boldsymbol{f}(\cdot, n) ，使得经过该操作后，\tilde{\boldsymbol{q}}_m,\tilde{\boldsymbol{k}}_n 就带有了位置m,n 的绝对位置信息。Attention的核心运算是内积，所以我们希望内积的结果带有相对位置信息，因此假设存在恒等关系：

所以我们要求出该恒等式的一个（尽可能简单的）解。求解过程还需要一些初始条件，显然我们可以合理地设f(\boldsymbol{q},0)=\boldsymbol{q} 和f(\boldsymbol{k},0)=\boldsymbol{k}

求解过程

同上一篇思路一样，我们先考虑二维情形，然后借助复数来求解。在复数中有\langle\boldsymbol{q},\boldsymbol{k}\rangle=\text{Re}[\boldsymbol{q}\boldsymbol{k}^*] ，\text{Re}[] 代表复数的实部，我们希望存在某个函数g ，使其能够包含相对位置信息，即：

简单起见，我们假设存在复数g(\boldsymbol{q},\boldsymbol{k},m-n) ，使得\boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}, m)\boldsymbol{f}^*(\boldsymbol{k}, n) = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{k},m-n) ，然后我们用复数的指数形式，设

\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}, m) =&\, R_f (\boldsymbol{q}, m)e^{\text{i}\Theta_f(\boldsymbol{q}, m)} \\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{k}, n) =&\, R_f (\boldsymbol{k}, n)e^{\text{i}\Theta_f(\boldsymbol{k}, n)} \\ \boldsymbol{g}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, m-n) =&\, R_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, m-n)e^{\text{i}\Theta_g(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, m-n)} \\ \end{aligned}\tag{4}\end{equation}

那么带入方程后就得到方程组

\begin{equation}\begin{aligned} R_f (\boldsymbol{q}, m) R_f (\boldsymbol{k}, n) =&\, R_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, m-n) \\ \Theta_f (\boldsymbol{q}, m) - \Theta_f (\boldsymbol{k}, n) =&\, \Theta_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, m-n) \end{aligned}\tag{5}\end{equation}

对于第一个方程，带入m=n=0 得到

最后一个等号源于初始条件\boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}, 0)=\boldsymbol{q} 和\boldsymbol{f}(\boldsymbol{k}, 0)=\boldsymbol{k} 。所以现在我们可以很简单地设R_f (\boldsymbol{q}, m)=\Vert \boldsymbol{q}\Vert, R_f (\boldsymbol{k}, m)=\Vert \boldsymbol{k}\Vert ，即它不依赖于m 。至于第二个方程，同样带入m=n=0 得到

这里的\Theta(\boldsymbol{q}),\Theta(\boldsymbol{k}) 是\boldsymbol{q},\boldsymbol{k} 本身的幅角，最后一个等号同样源于初始条件。根据上式得到\Theta_f (\boldsymbol{q}, m) - \Theta (\boldsymbol{q}) = \Theta_f (\boldsymbol{k}, m) - \Theta (\boldsymbol{k}) ，所以\Theta_f (\boldsymbol{q}, m) - \Theta (\boldsymbol{q}) 应该是一个只与m 相关，跟\boldsymbol{q} 无关的函数，记为\varphi(m) ，即\Theta_f (\boldsymbol{q}, m) = \Theta (\boldsymbol{q}) + \varphi(m) 。接着带入n=m-1 ，整理得到

首先将n=m-1 带入式(5)的第二个式子，得到 \begin{aligned} \Theta_f (\boldsymbol{q}, m) - \Theta_f (\boldsymbol{k}, m-1) =\, \Theta_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, 1) \end{aligned} 上式两边同减\Theta(\boldsymbol{q}) 得 \begin{aligned} \Theta_f (\boldsymbol{q}, m) - \Theta(\boldsymbol{q}) - \Theta_f (\boldsymbol{k}, m-1) =\, \Theta_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, 1) - \Theta(\boldsymbol{q}) \end{aligned} 因为\Theta_f (\boldsymbol{q}, m) - \Theta(\boldsymbol{q})=\varphi(m) ，所以 \begin{aligned} \varphi(m) - \Theta_f (\boldsymbol{k}, m-1) =\, \Theta_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, 1) - \Theta(\boldsymbol{q}) \end{aligned} 上式两边同加\Theta(\boldsymbol{k}) 得 \begin{aligned} \varphi(m) + \Theta(\boldsymbol{k}) - \Theta_f (\boldsymbol{k}, m-1) =\, \Theta_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, 1) + \Theta(\boldsymbol{k}) - \Theta(\boldsymbol{q}) \end{aligned} 因为\Theta (\boldsymbol{q}) - \Theta_f (\boldsymbol{q}, m) = \Theta (\boldsymbol{k}) - \Theta_f (\boldsymbol{k}, m) ，所以 \begin{aligned} \varphi(m) + \Theta (\boldsymbol{q}) - \Theta_f (\boldsymbol{q}, m-1) =\, \Theta_g (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{k}, 1) + \Theta(\boldsymbol{k}) - \Theta(\boldsymbol{q}) \end{aligned} 最后因为\Theta_f (\boldsymbol{q}, m-1) - \Theta(\boldsymbol{q})=\varphi(m-1) ，所以

说了这么多，就是为了证明\{\varphi(m)\} 是等差数列，设右端为\theta ，那么就解得\varphi(m)=m\theta

编码形式

综上，我们得到二维情况下用复数表示的RoPE：

\begin{aligned} \Vert q\Vert e^{\text{i}(\Theta(q)+m\theta)}&=\Vert q\Vert (e^{\text{i}\Theta(\boldsymbol{q})}\cdot e^{\text{i}m\theta}) \\ &= (\Vert q\Vert e^{\text{i}\Theta(\boldsymbol{q})} )e^{\text{i}m\theta}\\ &=\boldsymbol{q}e^{\text{i}m\theta} \end{aligned}

根据复数乘法的几何意义，该变换实际上对应着向量的旋转，所以我们称之为"旋转式位置编码"，它还可以写成矩阵形式：

\begin{equation} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}, m) =\begin{pmatrix}\cos m\theta & -\sin m\theta\\ \sin m\theta & \cos m\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}q_0 \\ q_1\end{pmatrix}\tag{10}\end{equation}

为什么旋转对应矩阵相乘，可以看这篇文章：旋转之一 - 复数与2D旋转，或者大家直接搜复数乘法与向量旋转

由于内积满足线性叠加性，因此任意偶数维的RoPE，我们都可以表示为二维情形的拼接，即

\begin{equation}\scriptsize{\underbrace{\begin{pmatrix} \cos m\theta_0 & -\sin m\theta_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \sin m\theta_0 & \cos m\theta_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos m\theta_1 & -\sin m\theta_1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sin m\theta_1 & \cos m\theta_1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cos m\theta_{d/2-1} & -\sin m\theta_{d/2-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \sin m\theta_{d/2-1} & \cos m\theta_{d/2-1} \\ \end{pmatrix}}_{\boldsymbol{\mathcal{R}}_m} \begin{pmatrix}q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ \vdots \\ q_{d-2} \\ q_{d-1}\end{pmatrix}}\tag{11}\end{equation}

也就是说，给位置为m 的向量\boldsymbol{q} 乘上矩阵\boldsymbol{R}_m ，位置为n 的向量\boldsymbol{k} 乘上矩阵\boldsymbol{R}_n ，用变换后的\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K} 序列做Attention，那么Attention就自动包含相对位置信息了，因为下列等式恒成立：

总可以利用积化和差公式，使得\cos 或者\sin 中带有(m-n) 项

值得指出的是，\boldsymbol{R}_m 是一个正交矩阵，它不会改变向量的模长，因此通常来说它不会改变原模型的稳定性

由于\boldsymbol{R}_m 的稀疏性，所以直接用矩阵乘法来实现会很浪费算力，推荐通过使用下述方式来实现RoPE：

\begin{equation}\begin{pmatrix}q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ \vdots \\ q_{d-2} \\ q_{d-1} \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}\cos m\theta_0 \\ \cos m\theta_0 \\ \cos m\theta_1 \\ \cos m\theta_1 \\ \vdots \\ \cos m\theta_{d/2-1} \\ \cos m\theta_{d/2-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-q_1 \\ q_0 \\ -q_3 \\ q_2 \\ \vdots \\ -q_{d-1} \\ q_{d-2} \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}\sin m\theta_0 \\ \sin m\theta_0 \\ \sin m\theta_1 \\ \sin m\theta_1 \\ \vdots \\ \sin m\theta_{d/2-1} \\ \sin m\theta_{d/2-1} \end{pmatrix}\tag{13}\end{equation}

其中\otimes 是逐位对应相乘，即Numpy、Tensorflow、PyTorch等计算框架中的* 运算。从这个实现角度也可以看到，RoPE可以视为是乘性位置编码的变体

远程衰减

可以看到，RoPE形式上和Sinusoidal位置编码有点相似，只不过Sinusoidal位置编码是加性的，而RoPE可以视为乘性的。在\theta_i 的选择上，我们同样沿用了Sinusoidal位置编码的方案，即\theta_i=10000^{−2i/d} ，它可以带来一定的远程衰减性

具体证明如下：将\boldsymbol{q},\boldsymbol{k} 两两分组后，它们加上RoPE后的内积可以用复数乘法表示为

\begin{equation} (\boldsymbol{\mathcal{R}}_m \boldsymbol{q})^{\top}(\boldsymbol{\mathcal{R}}_n \boldsymbol{k}) = \text{Re}\left[\sum_{i=0}^{d/2-1}\boldsymbol{q}_{[2i:2i+1]}\boldsymbol{k}_{[2i:2i+1]}^* e^{\text{i}(m-n)\theta_i}\right]\tag{14}\end{equation}

式(14)主要是由式(12)变形得到

记h_i = \boldsymbol{q}_{[2i:2i+1]}\boldsymbol{k}_{[2i:2i+1]}^*, S_j = \sum\limits_{i=0}^{j-1} e^{\text{i}(m-n)\theta_i} ，并约定h_{d/2}=0,S_0=0 ，那么有：

\begin{equation}\sum_{i=0}^{d/2-1}\boldsymbol{q}_{[2i:2i+1]}\boldsymbol{k}_{[2i:2i+1]}^* e^{\text{i}(m-n)\theta_i} = \sum_{i=0}^{d/2-1} h_i (S_{i +1} - S_i) = -\sum_{i=0}^{d/2-1} S_{i+1}(h_{i+1} - h_i)\tag{15}\end{equation}

式(15)的第二个等式主要由Abel分部求和法得到（令d/2=n ）： \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} h_i (S_{i +1} - S_i)&=-0+h_{n-1}S_n-h_{n-1}S_{n-1}+h_{n-2}S_{n-1}-h_{n-2}S_{n-2}\cdots +h_0S_1-h_0S_0\\ &=-h_{n}S_n+h_{n-1}S_n+\cdots +h_0S_1-h_0S_0\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}S_{i+1}(h_i-h_{i+1})\\ &=-\sum_{i=0}^{n-1}S_{i+1}(h_{i+1}-h_i) \end{aligned}

所以

\begin{equation}\begin{aligned} \left|\sum_{i=0}^{d/2-1}\boldsymbol{q}_{[2i:2i+1]}\boldsymbol{k}_{[2i:2i+1]}^* e^{\text{i}(m-n)\theta_i}\right| =&\, \left|\sum_{i=0}^{d/2-1} S_{i+1}(h_{i+1} - h_i)\right| \\ \leq&\, \sum_{i=0}^{d/2-1} |S_{i+1}| |h_{i+1} - h_i| \\ \leq&\, \left(\max_i |h_{i+1} - h_i|\right)\sum_{i=0}^{d/2-1} |S_{i+1}| \end{aligned}\tag{16}\end{equation}

因此我们可以考察\frac{1}{d/2}\sum\limits_{i=1}^{d/2} |S_i| 随着相对距离变化的情况作为衰减性的体现，Mathematica代码如下

d = 128;
\[Theta][t_] = 10000^(-2*t/d);
f[m_] = Sum[
    Norm[Sum[Exp[I*m*\[Theta][i]], {i, 0, j}]], {j, 0, d/2 - 1}]/(d/2);
Plot[f[m], {m, 0, 256}, AxesLabel -> {相对距离, 相对大小}]

结果如下图：

从途中我们可以看到，随着相对距离的变大，内积结果有衰减趋势的出现。因此，选择\theta_i=10000^{-2i/d} ，确实能带来一定的远程衰减性。当然，同上一篇文章说的一样，能带来远程衰减性的不止这个选择，几乎任意的光滑单调函数都可以，这里只是沿用了已有的选择而已。苏剑林大佬还试过以\theta_i=10000^{-2i/d} 为初始化，将\theta_i 视为可训练参数，然后训练一段时间后发现\theta_i 并没有显著更新，因此干脆就直接固定\theta_i=10000^{-2i/d} 了

线性场景

最后，我们指出，RoPE是目前唯一一种可以用于线性Attention的相对位置编码。这是因为其他的相对位置编码，都是直接基于Attention矩阵进行操作的，但是线性Attention并没有事先算出Attention矩阵，因此也就不存在操作Attention矩阵的做法，所以其他的方案无法应用到线性Attention中。而对于RoPE来说，它是用绝对位置编码的方式来实现相关位置编码，不需要操作Attention矩阵，因此有了应用到线性Attention的可能性

关于线性Attention的介绍，这里不再重复，有需要的读者请参考《去掉 Attention 的 Softmax，复杂度降为 O (n)》。线性Attention的常见形式是：

其中\phi,\varphi 是值域非负的激活函数。可以看到，线性Attention也是基于内积的，所以很自然的想法是将RoPE插入到内积中：

但这样存在的问题是，[\boldsymbol{\mathcal{R}}_i\phi(\boldsymbol{q}_i)]^{\top} [\boldsymbol{\mathcal{R}}_j\varphi(\boldsymbol{k}_j)] 可能为负数，因此它不再是常规的概率注意力，而且分母有0的风险，可能会带来优化上的不稳定，考虑到\boldsymbol{R}_i,\boldsymbol{R}_j 都是正交矩阵，它不改变向量的模长，因此我们可以抛弃常规的概率归一化要求，使用如下运算作为一种新的线性Attention：

也就是说，RoPE只插入分子中，而分母则不改变，这样的注意力不再是基于概率的（注意力矩阵不再满足归一性），但它某种意义上来说也是一个归一化方案，而且也没有证据表明非概率式的注意力就不好（比如Nyströmformer也算是没有严格依据概率分布的方式构筑注意力），所以我们将它作为候选方案之一进行实验，而我们初步的实验结果显示这样的线性Attention也是有效的

此外，苏剑林大佬在《去掉 Attention 的 Softmax，复杂度降为 O (n)》中还提出过另外一种线性Attention方案：

它不依赖于值域的非负性，而RoPE也不改变模长，因此RoPE可以直接应用于此类线性Attention，并且不改变它的概率意义

模型开源

关于模型开源部分请查看文章开头部分的Rotary Transformer（RoFormer）

Reference

• Transformer升级之路：2、博采众长的旋转式位置编码