在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。 定义: A A是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有 xTAx>0 x^TAx> 0,其中 xT x^T 表示 x x的转置,就称AA正定矩阵。
性质:
等价命题: 对于n阶实对称矩阵 A A,下列条件是等价的:
半正定矩阵 设 A A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有x^TAx≥0,就称A为半正定矩阵。 对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 性质:
等价条件:
直观理解正定、半正定矩阵: XTMX≥0 X^TMX\ge 0 XTY≥0 (Y=MX) X^TY\ge 0 \ \ (Y=MX) cos(θ)=XTY||X||∗||Y||≥0 cos(\theta)=\frac{X^TY}{||X||*||Y||}\ge 0 ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。