坐标系与矩阵(1):旋转
坐标系转换在很多方面都会用到，比如机器人中的骨骼关节间的空间关系，GIS中的坐标系，渲染和计算机视觉中的相机等，往往需要采用矩阵来实现不同坐标系间的转换。因此，这里主要涉及到几何和线性代数两方面的数学知识。
个人一直想把这块知识点梳理一下，形成一个自我的理解体系。正巧前阵子有同事提到了齐次坐标，不妨以此为动机，形成这一系列。本篇主要针对旋转。
首先，我们先定义两个坐标系，一个是固定坐标系(fixed)，也可以称为全球坐标系(global)，或世界坐标系(world)，其特点是该坐标系是绝对的，一旦确立就不再变化，我们记为
。另一个则是移动坐标系(moving)，也称为本地坐标系(local)或自身坐标系(body)，其特点是会移动(旋转R，平移T，缩放S，RTS)，我们记为
。本文主要针对旋转，自然也分为两种情况，相对
的旋转，或相对
的旋转。
上图是坐标系
相对于
旋转
对应的结果及矩阵。同理，相对于
旋转
对应的矩阵分别是：
并且，该矩阵为正交矩阵：
这里，如果坐标系M绕坐标系F的某一个轴
旋转
，其中
和
分别对应某一点相对于
和
的坐标位置，则转换关系如下：
例子1，初始是
，
绕着
旋转
，此时，
坐标系上的一点
对应
坐标系的位置
是多少？
求解如下：
同理，初始是
，然后
绕着
进行了一系列的旋转
,此时，空间上同一个点，对应M和F坐标系下的空间位置分别记作
，满足公式：
全球坐标系下，针对不同轴的旋转，这里有一个对应的roll-pitch-yaw：
刚才我们只讨论了围绕
坐标系的旋转并给出了对应的矩阵，这里，如果我们相对
坐标系旋转，分别得到对应的三个矩阵：
同理，如果此时
绕着
旋转
，
分别对应某一点相对于
和
的坐标位置，则转换关系如下：
例子2，初始是
，
绕着
旋转
，此时，
坐标系上的一点
对应
坐标系的位置
是多少？
求解如下：
例子3，初始是
，
绕着
旋转
，此时，
坐标系上的一点
对应
坐标系的位置
是多少？
求解如下：
同理，初始是
，然后
绕着
进行了一系列的旋转
,此时，空间上同一个点，对应M和F坐标系下的空间位置分别记作
，满足公式：
这样，我们可以把绕固定坐标系
和移动坐标系
旋转综合在一起，可得如下
- 初始是
,相当于M绕F旋转一个单位矩阵：
- 然后，M旋转
:
- 如果相对于
：
- 如果相对于
：
这里，R用于将
坐标系下的一点
转换为相对于
坐标系下的点
。如上的规则应该算是本篇内容最重要的部分了。
同样，在局部坐标系下，针对不同轴的旋转，这里有一个对应的roll-pitch-yaw：
基于如上的旋转，有的是基于
，有的则是基于
，我们可以基于一系列的旋转复合形成该物体的朝向(orientation)。这里就有了欧拉角这个概念：
- 绕
旋转
，称为precession
- 绕
旋转
，称为nutation
- 绕
旋转
，称为spin
欧拉角对应的过程如下图所示：
(1)precession:
(2)nutation:
(3)spin:
将R展开：
通过本章，我们可以得到一个结论：
对于原点相同的任意两个坐标系
，空间中相同的一个点，分别对应坐标系下的位置为
，必然存在一个转换矩阵R，满足两者之间的映射关系：
坐标系旋转的内容基本介绍完毕，下一篇继续，基于rotation，最终将确定物体的朝向，orientation这部分的内容会在下一篇详细介绍。