坐标系与矩阵(2):朝向
轴角旋转(Axis-Angle Rotation)
上一篇主要是针对
或
坐标系中某一个轴旋转，自然，我们会想到，是否能以任意轴
旋转
，这称之为轴角旋转(Angle-Axis Rotation)。这里，我们可以给出两个结论：
- 任意轴
旋转
，都可以分解为沿着三个非平面的轴的旋转
- 有限多的旋转后刚体的最终方向与绕唯一轴
唯一旋转
后获得的方向相同
存在一个全球坐标系下的归一化的向量
，这里
，我们绕
旋转
，可以旋转矩阵为：
这里，
是反对称矩阵(skew-symmetric)，存在
，可得：
推导后得到：
例子1：
单位立方体绕通过其角 A 和 G 的直线旋转 π/4。旋转后立方体角的坐标是多少？
这里，
，可得：
因为点G (1,1,1)就在该轴上，无论如何旋转都不应该变化，我们验证一下：
同理，点F (1,0,1)对应的结果：
这样，通过
，如果已知矩阵
，是否可以获取对应的
：
另外，我们还可以通过Euler parameters形式来表达：
这样，可得R：
同样，我们也可以根据矩阵R反推出对应的欧拉参数
，再次不再赘述。
这里，就有疑问了，这种形式有什么好处吗？答案就是四元数和欧拉公式之间的关系。
四元数(Quaternions)
四元数可以认为是复数的延伸：
其中，a是标量部分(scalar)，而
是向量部分(vector),当a为零时为纯四元数。
常见的运算规则如下：
根据该运算规则可得Hamilton product：
四元数的共轭(Conjugate)形式是：
，且满足
当空间上的一点
绕单位向量
旋转
对应的四元数表示形式为：
通过欧拉公式对应为：
此时，点p对应一个纯四元数：
旋转后的结果为：
因为
是单位四元数：
例子2：
上图一点
绕着向量
旋转
，旋转后的点
一个没有亲手算过四元数的程序员不能算是一个真正的renderman，当然这个是必要不充分条件，这个问题留给大家自己来算吧。
最后一点，如果存在多次旋转的情况时，比如第一次是
，第二次是
，则有：
至于四元数的优势，一来是只需要四个变量，二来是便于插值计算。另一个好处是避免了欧拉角的万向锁的问题。这个我就不讨论了，因为我从没有遇到过，只是听说过，对此理解不深刻。以我的理解，实际中欧拉角往往都会转为四元数来参与计算。
这一块的数学概念比较多，基于不同的场景各有优略，同时数据计算量比较大，可能视觉体验比较差，但其实用到的数学概念都比较直观，关键在于从几何角度理解其作用，剩下的直接套公式便可以求解。
前两篇主要是基于我的理解，从坐标系到矩阵，从轴角到欧拉参数到最后的四元数这样的方式，将各个知识点之间的关系整合起来，最终确定物体旋转后的orientation，希望这个梳理后的知识体系能够对大家有所帮助。下一篇则介绍平移translation方面的内容。
参考资料（上一篇忘记引入参考资料了）：Motion and Manipulation https://www.cs.uu.nl/docs/vakken/moma/2019.html
PS. 微信公众号导入word后，图片压缩的太过分了，对不起我用LaTex敲的公式，我在google drive上共享了pdf原版，有兴趣的可以下载下来看。
drive：https://drive.google.com/drive/folders/1Tp_zDNkY4OuhJ3bagE8qD6N0eX6jU8pm?usp=sharing