对于弹塑性材料，
\Delta\sigma = C_T \Delta\epsilon,其中
C_T=
\begin{cases}
E, &|\sigma |< \sigma_Y\\
E_t, &|\sigma |>\sigma_Y
\end{cases}
\sigma_Y为当前屈服应力。对于初始加载，
\sigma_Y等于材料屈服应力，材料达到屈服后，
\sigma_Y要基于假定的应变硬化模型来更新。一般的工程材料，弹性模量及初始屈服应力可以由单轴拉伸试验得到，而
E_t不能由实验得到。实验中可以得到应变硬化参数H,这个参数定义为应力-应变曲线中除去弹性应变分量后应变硬化部分的斜率。
如图所示，塑性阶段应变增量分为弹性及塑性两部分：
\Delta \epsilon = \Delta \epsilon_e +\Delta \epsilon_p
卸载后，弹性应变回复，因而只用应变增量中的塑性应变部分来定义应变硬化参数。在塑性阶段，应力增量
\Delta \sigma可用3种模量中的任何一种写出：
\Delta \sigma = E \Delta \epsilon_e = H\Delta \epsilon_p = E_t \Delta \epsilon
因此
\frac {\Delta \sigma}{E_t} = \frac {\Delta \sigma}{E} + \frac {\Delta \sigma}{H}
\frac {1}{E_t} = \frac {1}{E} + \frac {1}{H}
E_t= \frac {EH}{E+H}
\Delta \epsilon = \frac {\Delta \sigma}{E} +\Delta \epsilon_p = \frac {H\Delta \epsilon_p }{E} +\Delta \epsilon_p
\Delta \epsilon_p = \frac {\Delta \epsilon}{1+H/E}
Newton–Raphson迭代可得到位移增量进而得到应变增量
\Delta \epsilon,累积塑性应变
\epsilon_p^n,累积应力
\sigma^n等等。下面基于各向同性硬化模型来计算当前应力。
一) 计算当前屈服应力
\sigma_Y^n = \sigma_Y^0 + H \epsilon_p^n
或者
\sigma_Y^n = \sigma_Y^{n-1} + H \Delta \epsilon_p
这里
\sigma_Y^0是初始屈服应力，H是塑性模量。无论是受拉还是受压,由于应变硬化，屈服应力不断增加。
二) 弹性预测
假定在此应变增量为弹性阶段，计算应力增量和试应力(trial stress)。
\Delta \sigma^{tr} = E \Delta \epsilon
\sigma^{tr} = \sigma^n + \Delta \sigma^{tr}
三) 检查屈服状态
检查试应力是否满足屈服条件，即
f^{tr} = |\sigma^{tr}| - \sigma_Y^n
如果
f^{tr} <=0 ,则材料处于屈服前的初始荷载路径或者卸载路径，如图所示，
此时累积应力
\sigma^{n+1} = \sigma^{tr}
应变增量是完全弹性的，塑性应变没有改变。
\epsilon_e^{n+1} = \epsilon_e^n + \Delta \epsilon
\epsilon_p^{n+1} = \epsilon_p^n
如果
f^{tr} >0 ,则材料处于屈服状态。
如图所示
\sigma^{n+1} = \sigma^{tr} -sgn(\sigma^{tr}) E\Delta \epsilon_p
这里
sgn() 是符号函数。由于塑性应变增量仍未知，需要增加一个条件：在加载过程中，修正后的应力必须在屈服面上
|\sigma^{n+1}| - \sigma_Y^{n+1} =0
|\sigma^{tr} -sgn(\sigma^{tr}) E\Delta \epsilon_p |- (\sigma_Y^n + H \Delta \epsilon_p) =0
|\sigma^{tr}|-\sigma_Y^n-(E+H) \Delta \epsilon_p =0
\Delta \epsilon_p = \frac {|\sigma^{tr}|-\sigma_Y^n}{E+H}=\frac {f^{tr}}{E+H}
由于
f^{tr}>0 ,塑性应变增量总是正的。
接下来进入下一步迭代。
