前馈神经网络与反向传播算法

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在单层感知器的基础上，引入隐藏层即可得到多层感知器和深度神经网络，结构如下

在上述网络中，信号从输入层开始，经过线性组合和激活函数的处理，输入到下一层的神经元，信号依次经过各个隐藏层的处理，最终输出到输出层，这样的信号传递是一个正向传递的过程，这种结构的神经网络称之为前馈神经网络。

对比循环神经网络RNN, 更能体会前馈神经网络的这一特性

在RNN中，存在一层循环神经元，信号在自身进行递归，而前馈神经网络中信号是层层传递的，从输入层依次传输到输出层。

对于前馈神经网络而言，其参数训练的过程通过反向传播算法来实现。反向传播，对应的英文为Back proprgation, 与前馈神经网络中信号的正向传递相对应，图示如下

反向传播算法将均方误差作为模型训练的代价函数，本质上是梯度下降法。和信号从输入层到隐藏层到输出层的正向传播相反，误差值从输出层传递到隐藏层再到输入层，这也是其名称中反向传播的由来。

下面通过一个实际的例子来感受下反向传播算法，神经网络结构如下

在输入层和隐藏层中，每一层都添加了一个值为1的神经元，这样的神经元称之为bias, 类比线性拟合中随机误差对应的常数项。首先随机初始化各条边的权重值，结果如下

神经网络训练的目标是调整各条边的权重，使得模型输出值与真实值o1,o2的误差最小。类比机器学习，这个目标可以用损失函数来定量描述，这里采用均方根误差。

根据初始权重值，通过正向传播，可以计算隐藏层h1和h2的值，这里激活函数采用sigmod函数，计算过程如下

接着计算输出层的输出

根据输出层的计算结构和真实值的差异，可以计算损失函数的值

接下来进行反向传播，对于神经网络而言，由于其参数很多，损失函数的求解通过梯度下降法来实现。以w5这个权重为例，根据链式法则，其偏导数如下

依次计算链式展开的各个子项，结果如下

学习率设定为0.5，则更新后的w5参数值计算如下

其他隐藏层的权重值计算过程是一样的，隐藏层计算完之后，再传播到输入层，按照同样的方式来调整输入层的权重。在每次迭代中，信号正向传播，利用更新后的权重值来计算输出层的总体误差，然后误差反向传播，依次更新更层神经元对应的权重值。

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