二重积分的概念
之前我们知道了定积分的意义,就是求一个一元函数f(x)所组成的曲边梯形的面积。它是将ab线段划分成无穷小的一段∆x=(b-a)/n,这里n->∞再乘以高度(即函数值f(x)),最终得到
而对于多元函数来说,它所组成的空间,称为重积分。对于二元函数f(x,y)来说,就叫二重积分。我们所要求的就是一个曲顶柱体的体积。
这里在XY平面上的绿色方块区域,我们称为积分区域,它平行于X轴的线段,设定为∆x,平行于Y轴的线段,设定为∆y,则它的面积就为∆δ=∆x•∆y,我们可以把∆δ想象的非常的小,就是一个点,则在曲顶柱体的高度就是二元函数值f(x,y),则整个曲顶柱体由这些所有的很小的区域组成,它的体积就为
f(xi,yi)•∆δ,可以写为
dxdy可以写为
定积分与二重积分对比
| 定积分 | 二重积分 |
---|---|---|
几何意义 | 曲边梯形面积 | 曲面柱体体积 |
描述式 | | |
符号表达式 | | (或dxdy) |
,积分区域D由平面
构成
曲面z=√(R^2-x^2-y^2)表示球心在(0,0,0)处,半径为R的上半球面,D表示圆心为(0,0),半径为R的圆面。
所以
表示上半球的体积=(2/3)πR^3
二重积分的性质
| 定积分 | 二重积分 |
---|---|---|
齐次、可加性(线性性质) | | |
分块积分性 | | |
不等式性 | 特别地, | 特别地 |
最值性 | | |
积分中值定理 | | |
,
大小,D是(1,0),(1,1),(2,0)围成的三角形区域.
由
可知,我们只需要比较ln(x+y)和ln(x+y)^2即可
而(1,0),(1,1),(2,0)围成的三角形如下图所示
由图中我们可以看出1≤x+y≤2,则ln1≤ln(x+y)≤ln2,即0≤ln(x+y)≤ln2<lne=1
令f=ln(x+y) ∈ [0,1),f-f^2=f(1-f)≥0,故f≥f^2
最终可得
≥
,求估值。
设f(x,y)= 1/(100+cos^2x+cos^2y),积分区域为
1/102≤1/(100+cos^2x+cos^2y)≤1/100,由
可知
δ等于4个三角形面积=10*10*(1/2)*4=200,所以